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算法-减治法

2020/9/19 13:40:45 文章标签:

分治法和减治法的区别。

分治法是把一个大问题划分为若干个子问题,分别求解各个子问题,然后再把子问题的解进行合并得到原问题的解。

减治法同样是把一个大问题划分为若干个子问题,但是这些子问题不需要分别求解,只需求解其中的一个子问题,因而也无需对子问题的解进行合并。

所以,严格的说,减治法应该是一种退化了的分治法,时间复杂性一般是O(log2 n)。

减治法在将原问题分解为若干个子问题后,利用了规模为n的原问题的解与较小规模(通常是n/2)的子问题的解之间的关系,这种关系通常表现为:

(1)原问题的解只存在于其中一个较小规模的子问题中;

(2)原问题的解与其中一个较小规模的解之间存在某种对应关系

在这里插入图片描述

查找问题中的减治法

折半查找

折半查找利用了记录按关键码有序的特点,其基本思想为:在有序表中,取中间记录作为比较对象,若给定值与中间记录的关键码相等,则查找成功;若给定值小于中间记录的关键码,则在中间记录的左半区继续查找;若给定值大于中间记录的关键码,则在中间记录的右半区继续查找。不断重复上述过程,直到查找成功,或所查找的区域无记录,查找失败。在这里插入图片描述

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二叉查找树

二叉查找树又称二叉排序树,是具有以下性质的二叉树;

(1)若它的左子树不空,则左子树上所有节点的值均小于根节点的值

(2)若它的右子树不空,则右子树上所有节点的值均大于根节点的值

(3)它的左右子树也都是二叉排序树

在二叉排序树root中查找给定值k的过程是:

(1)若root是空树,则查找失败

(2)若k=根节点的值,则查找成功

(3)否则,若k<根节点的值,则在root的左子树上查找

(4)否则,在root的右子树上查找

讲这个感觉没啥用,二叉查找树比较麻烦的是如何构建这颗树吧。而且其实折半查找就是用数组表示了二叉查找树结构。这个就不找题做了,没想到有什么场景。

排序问题中的减治法

堆排序

定义:堆(heap)是具有下列性质的完全二叉树:每个节点的值都小于或等于其左右孩子节点的值(小根堆);或者每个节点的值都大于或等于其左右孩子节点的值(大根堆)。如果将具有个节点的堆按层序从1开始编号,则节点之间满足如下关系:

(1)ki <= k(2i) 且 ki <= k(2i+1)

(2)ki >= k(2i) 且 ki >= k(2i+1)

1<=i<=n/2

这个定义其实说明了用数组存储堆的话,数据的特征。

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堆排序是利用堆的特性进行排序的方法,其基本思想是:首先将待排序的记录序列构造成一个堆,此时,选出了堆中所有记录的最大者即堆顶记录,然后将它从堆中移走,并将剩余的记录再调整成堆,这样又找出了次大的记录,以此类推,直到堆中只有一个记录为止。

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堆调整问题是关键,主要有筛选调整法和插入法调整。

筛选法调整堆要解决的关键问题是:在一个完全二叉树中,根节点的左右子树均是堆,如何调整根节点,使整个完全二叉树成为一个堆?

方法为:根节点和左右子树的根节点比较,将最大值和和根节点进行交换,直到所有子树均为堆或者调整的节点到了叶子节点。
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插入法调整堆要解决的问题是:在堆中插入一个节点,如何调整被插入的节点,使整个完全二叉树仍然是一个堆?

方法为:在末尾插入节点,将该节点与双亲节点进行比较,如果不满足堆条件,将该节点和根节点进行交换,重复执行这个过程,直到节点小于双亲节点或者到了根节点。
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堆排序需要完成两个操作:

1)将数组调整为堆:

  • 方法1:从最后一个非叶子节点开始,比较该节点和子节点的值进行调整,调整完成后,比较倒数第二个非叶子节点,持续这个过程,直到根节点。第一个叶子节点,一定是序列长度/2,所以第一个非叶子节点的索引就是arr.length / 2 -1。参考
  • 方法2:使用插入法,按照数组顺序,一个一个插入

2)排序:将根节点和最后一个叶子节点对调,然后使用筛选法将剩余的元素重新构建成堆

  1. 面试题 17.14. 最小K个数 - 中等 代码

选择问题

设无序序列T=(r1,r2,……,rn),T的第k(1<=k<=n)小元素定义为T按升序排列后在第k个位置上的元素。给定一个序列T和一个整数k,寻找T的第k小元素的问题称为选择问题。特别地,将寻找第n/2小元素的问题称为中值问题。

这种类型的题可以借鉴快速排序的划分过程。每次划分,会确定出一个轴值,判断轴值所在位置比k大还是小,从而减小范围。使用这种方案时间复杂度为O(n)。

在这里插入图片描述

这种类型的题和上面最小K个数的区别在于,一个选择出一个数值,一个需要返回一定范围。

  1. 215. 数组中的第K个最大元素 - 中等 代码

组合问题中的减治法

淘汰赛冠军问题

假设有n=2^k个选手进行经济淘汰赛,最后决出冠军的选手,用函数bool Comp(string mem1, string mem2)

模拟两位选手的比赛,若mem1获胜则函数Comp返回TRUE,否则函数Comp返回FALSE,并假定可以在常数时间内完成函数Comp的执行,如何模拟淘汰比赛过程?要求时间复杂度为O(n)。

这个思路比较简单,将所有用户二等分,两段的起始索引为0和n/2,让0与n/2比较,赢的放前面。一直遍历到n/2-1,前n/2都是胜利的人。再次二等分,做这种循环,最终第0个人是最终胜利者。

这种问题很难找到对应的练习题,因为这种题有个特性,就是两个数据只能存活一个。而且这道题编写也不是很困难,就不做了,但是大家如果有合适的题可以提供给我。

假币问题

在n枚外观相同的硬币中,有一枚是假币,并且已知假币教轻。可以通过一架没有刻度的天平来任意比较两组硬币,从而得知两组硬币的重量是否相同,或者哪一组更轻一些,但不知道轻多少,假币问题是要求设计一个搞笑的算法来检测出这枚假币。

因为知道哪个假币教轻,所以计算思路比较简单

方案1:分成两堆,进行比较,教轻的一堆再分成两堆,直至找到最轻的硬币,时间复杂度为O(log2 n)

方案2:分成三堆,如果比较两堆重量一样,则第三堆有假币;如果比较的两堆有一堆教轻,则该堆有假币。重复这个过程,直至找到最轻的硬币,时间复杂度为O(log3 n)

现在让我们把问题复杂化,如果有8枚硬币(a b c d e f g h),假币重量教轻还是较重,如何处理?

解决这个问题需要使用判定树,具体细节留给大家自己思考。
在这里插入图片描述

假币问题乐扣上也没有找到相应的题目,毕竟有值但是又不让用的题比较难出,大家也比较难接受,不过在实际生活中,这个还是很有用的。

总结

减治法和分治法是相似的,只不过减治法每次执行规模会减半。本篇里需要重点关注的有

查找问题:折半查找

排序问题:堆排序、选择问题

其中折半查找大家可能都觉得很容易,其实只是思想理解起来容易,真正编码的时候,涉及到很多边界条件,我用折半查找面试过很多人,能写的完美的比较少。

堆排序是必然要掌握的,关于堆的相关习题太多,大家一定要自己做一番。

最后

大家如果喜欢我的文章,可以关注我的公众号(程序员麻辣烫)

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  2. 蛮力法
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  4. 减治法

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