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拓扑--代数拓扑1

2021/1/28 22:45:54 文章标签:

基本群 (1)群:结合律、单位元、逆元 幺半群(Monoid):结合律、单位元e,不要求逆元 Abel群:满足交换律的群,也称交换群 (2)群同态:&a…

基本群


(1)群:结合律、单位元、逆元

幺半群(Monoid):结合律、单位元e,不要求逆元

Abel群:满足交换律的群,也称交换群

(2)群同态:f: (G, \ast) \to (H,\cdot),满足 f(x\ast y)=fx \cdot fy, \, f \,0_{G}=0_{H},这里 f 称为底层函数。是双射的群同态称为群同构,源群和目标群都是同一个群时,称为自同构。群同构关系是群之间的等价关系

同态的像:imf=f(G),是H的正规子群;

同态的核:单位元的原像,kerf=f^{-1}(0),是G的子群;

同态的上核: cokerf=H/f(G),是商群

(3)同伦:设 f, g: X \to Y 是两个连续映射,I=[0,1] 是单位区间,如果存在一个连续映射 F: X \times I \to Y,满足对所有x都有 F(x,0)=f(x), \, F(x,1)=g(x),则映射F称为 f 和 g 之间的一个同伦,记作 f \simeq g。如果 g 是常值映射,则称 f 是零伦的。直观地说,同伦就是连续的形变;

道路同伦:f, g: I \to X 是两条道路,都以 x_{0} 为起点,以 x_{1} 为终点,若存在连续映射 F: I \times I \to X,使得对所有 s \in I, t \in I,都有 F(s,0)=f(s), \, F(s,1)=g(s) 和 F(0,t)=x_{0}, F(1,t)=x_{1} ,则称 f 和 g 是道路同伦的,记作 f \simeq_{p} g

同伦等价:两个拓扑空间之间存在映射 f: X \to Y 和 g: Y \to X 满足 f \circ g\simeq id_{Y}, \, g \circ f \simeq id_{X},则称拓扑空间X和Y同伦等价,或者说它们有相同的伦型,记作 f: X\simeq Y。也称f和g同伦等价,g是f的同伦逆。注意若把条件改为相等 f \circ g= id_{Y}, \, g \circ f = id_{X} 则为同胚

(4)道路乘积:f: [0,1] \to X 是从点 x_{0} 到 x_{1} 的道路,g: [0,1] \to X 是从点 x_{1} 到 x_{2} 的道路,定义f与g的乘积 f \ast g 为道路h

h(s)=\left\{\begin{matrix} f(2s), & s \in [0, 1/2] \\ g(2s-1), & s \in [1/2,1] \end{matrix}\right.

根据粘合引理,h是连续的,它是从 点 x_{0} 到 x_{2} 的一条道路,其前半段为f,后半段为g。它们的同伦类的乘积为 [f] \ast [g]=[f \ast g] 。

该乘积运算 \ast 满足结合律、单位元为常值道路 e_{x}: I \to \left \{ x \right \} 即将I变为单点x、f的逆元为 \bar{f}(s)=f(1-s),该运算\ast称为广群。但不是群,因为 [f] \ast [g] 不一定有定义,当f的终点与g的起点重合 f(1)=g(0) 时,[f] \ast [g] 则有定义,则就是群。

(5)基本群(一维同伦群):设点 x_{0} 是空间X中的一点,所有以 x_{0} 为基点的回路(即起点和终点都是 x_{0} 的道路)的道路同伦类组成的集合,对道路乘积运算 \ast 会构成一个群,称为空间X关于基点 x_{0} 的基本群,记作 \pi_{1}(X, x_{0}) 

n维同伦群:道路映射的定义改为用n维立方体 I^{n},而不是单位区间I,基点与立方体边界对应,即带基点的道路写成 \alpha: (I^{n}, \partial I^{n}) \to (X, x_{0}),与它道路同伦的等价类全体记为 \pi_{n}(X, x_{0}),这就n维同伦群

一维同伦群不一定是Abel群,但高维同伦群一定是Abel群。同伦群的计算一般都很困难

(6)单连通:如果X是道路连通空间,并且对某一点 x_{0} \in X ,其基本群为平凡群即 \pi_{1}(X, x_{0})=\left \{ e \right \} ,则称X是单连通的

(7)连续映射的诱导同态:对连续映射 f: X \to Y,和基点 y_{0}=f(x_{0}),定义基本群之间的映射 f_{\ast}: \pi_{1}(X,x_{0}) \to \pi_{1}(Y, y_{0}) 为 \forall [\alpha] \in \pi_{1}(X,x_{0}) \Rightarrow f_{\ast}([\alpha])=[f \circ \alpha] \in \pi_{1}(Y,y_{0}) ,这个映射 f_{\ast} 是群同态,称为 f 关于基点 x_{0} 的诱导同态。诱导同态具有函子性质,即拓扑空间范畴与基本群范畴之间存在保持结构的函子

(8)覆叠空间:设 p: E \to X 是拓扑空间之间的连续满射,如果X中每一个点 x 处都存在领域U被p均匀地覆盖,也即 p^{-1}(U)=\bigcup_{i}V_{i} ,其中 \left \{ V_{i} \right \} 是E中互不相交的开集族,并且p在 V_{i} 上的限制 p|_{V_{i}}: V_{i} \to X 是同胚,那么称E是X的覆叠空间,p称为覆叠映射,p也称为是E和X之间的一个局部同胚。\left \{ V_{i} \right \} 称为 p^{-1}(U) 的一个片状分拆。覆叠空间一种特殊的纤维丛

对任意点 x \in Xp^{-1}(x) 是E中的离散点集,称为点x上的纤维丛。如果 p^{-1}(x) 恰有k个元素,则E称为X的k-重覆叠空间;

覆叠空间的定义表明p是局部同胚的,这说明E和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果E是连通的且X是单连通的,则在整体上也成立,并且覆叠映射p变为同胚,纤维上的同胚;

具体表现:如果E是道路连通的,则X也是道路连通的;如果X是Hausdorff、正则、完全正则或者局部紧致的Hausdorff空间,则E也有同样的拓扑性质;如果X是紧致的,并且对任意点 x \in Xp^{-1}(x) 是有限的,则E也是紧致的

(9)映射提升:p: E \to B 是映射,f: X \to B 是连续映射,若存在映射 \tilde{f}: X \to E 满足 p \circ \tilde{f}=f,即下图可交换,则称 \tilde{f} 为f 的一个提升

map_lifting

(10)覆叠映射的提升对应:设 p: E \to B 是覆叠映射,p(e_{0})=b_{0},定义映射 \phi: \pi_{1}(B, b_{0}) \to p^{-1}(b_{0}),把 \phi([f]) 映为它的提升的终点即 \tilde{f}(1),映射 \phi 称为由覆叠映射p诱导的提升对应

(11)奇映射(保持对径点的映射):点x的对径点为-x,映射 h:S^{n} \to S^{m} 称为奇映射或保持对径点的映射,如果对所有 x \in S^{n} ,有 h(-x)=-h(x)

(12)收缩核:是具有特殊性质的子空间。设X是拓扑空间,A是X子空间,若存在连续映射 r: X \to A 使得当 x \in A 时,r(x)=x,则称A为X的收缩核,称映射 r 为X到A的一个收缩;

形变收缩核:是一类特殊的收缩核。若存在收缩映射 r: X \to A 和包含映射 i: A \to X (即对任意 a \in A 有 i(a)=a)使得 i \circ r \simeq id_{X},则称A为X的形变收缩核,同伦映射 H: X \times I \to A 称为X到A的形变收缩,它表示X可以连续地形变成A;

强形变收缩核:若同伦映射 H: X \times I \to A 是X到A的形变收缩,若对任意 x \in A, t \in I,有H(x, t)=x,则称A为X的强形变收缩核。直观地说,当形变过程中A的点都不变动时,A就是X的强形变收缩核;

可缩空间:与独点空间同伦等价的空间,即到自身的恒等映射是零伦的

(13)锥形:设X是拓扑空间,在积空间 X \times I 中定义关系 ~ 为,X \times \left \{ 1 \right \} 的点彼此等价,而 X \times (I-\left \{ 1 \right \}) 中的点只与自身等价,~ 是等价关系,由这一等价关系定义的商空间称为锥形,记作 CX=X \times I / \sim。直观地,CX是将 X \times I 中所有形如(x,1)的点捏成同一点得到的,这个点称为锥形的顶点。(x,t) \in X \times I 在锥形CX中的像记作 [x,t]

(14)曲面:2维流形。即具有可数基的Hausdorff空间,它的每一点有一个邻域同胚于 R^{2} 中的某一个开子集

(15)射影空间 P^{n} :是n维球面 S^{n} 中等同每一个点 x 和它的对径点 -x 而得到的商空间,商映射为 p: S^{n} \to P^{n}。特别地,n=2 时表示射影平面 P^{2} 。注意射影平面不能嵌入到 R^{3} 中

 

主要定理:

(1)一个群同态 f: G \to H 是一个同构,当且仅它有一个双边逆元,即存在一个同构 g: H \to G,使得 g \circ f = Id_{G}, \, f\circ g=Id_{H}

(2)同伦的性质:

映射同伦、道路同伦、拓扑空间同伦等价都是等价关系;道路 f 的同伦等价类记作 [f] ;

若A是欧氏空间 R^{n} 中的一个凸子空间,则A中任何两条道路都是同伦的;

直线同伦:从任一拓扑空间到欧氏空间的凸子集的两个映射 f, g: X \to R^{n} 是同伦的。实际上 F(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x) 就是f与g的一个同伦,这也称为直线同伦。当f和g是道路时,F也是一个道路同伦;

在单连通空间中,任何两条有公共起点和终点的道路都是道路同伦的

(3)凸集的基本群:\pi_{1}(R^{n}, x_{0}) 是平凡群(即一个单位元构成的群 \left \{ e \right \});如果X是 R^{n} 中的凸集,那么 \pi_{1}(X, x_{0}) 也是平凡群。特别地,单位球 B^{n}=\left \{ x \,|\, x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2}<1 \right \} 的基本群是平凡群;

(4)基本群同构的条件:若空间X是道路连通的,对X中任意两点 x_{0} 和 x_{1},基本群 \pi_{1}(X, x_{0}) 同构于与 \pi_{1}(X, x_{1}),可见这时所有基本群 \pi_{1}(X, x) 都是同构的;

注意这些群不能在不涉及基点的情况下等同起来,因为从x_{0} 和 x_{1} 的不同道路可以给出两个群之间不同的同构。一般地,基本群 \pi_{1}(X, x_{0}) 与 \pi_{1}(X, x_{1}) 的同构与道路选择无关,当且仅当基本群是交换群

(5)覆叠映射性质:

如果 p: E \to X 是覆叠映射,则p是局部同胚,即E中每个点处都有一个邻域被p同胚地映射到X的一个开子集上,但反过不一定成立;

如果 p: E \to X 是覆叠映射,X_{0} 是X的子空间,E_{0}=p^{-1}(X_{0}),则p的限制 p_{0}: E_{0} \to X_{0} 也是覆叠映射;

两覆叠空间的积空间也是覆叠空间,即积空间映射 p_{1} \times p_{2}: E_{1} \times E_{2} \to X_{1} \times X_{2} 是覆叠映射;

圆周 S^{1} (1维球面):一维实数轴是圆周的覆叠空间,映射 p: R \to S^{1} 定义为 p(x)=(cos2\pi x, sin2\pi x) ,它称为标准覆叠映射;

环面 T=S^{1} \times S^{1} :2维平面是环面的覆叠空间,用上述圆周的覆叠映射p,定义积映射 p \times p: R^{2} \to S^{1} \times S^{1} 为 (x,y) \to (cos2\pi x, sin2\pi x) \times (cos2\pi y, sin2\pi y),它就是一个环面 S^{1} \times S^{1} 的覆叠映射。注意 S^{1} \times S^{1} 是 R^{4} 的子空间,难于形象化,但它与 R^{3} 中轮胎环面是同胚的,因而称为环面

8字形空间:设 b_{0} 为 S^{1} 中的点,则环面的子空间 B_{0}=(S^{1} \times b_{0}) \cup (b_{0} \times S^{1}) 是一个在一点处相交的两个圆周的并,称为8字形空间。无限网络 E_{0}=(R \times Z) \cup (Z \times R) 就是它的一个覆叠空间,覆叠映射正好为 p \times p 的限制 p \times p: E_{0} \to B_{0}

(6)道路提升引理:如果 p: E \to B 是覆叠映射,p(e_{0})=b_{0},则B中任何一条以 b_{0} 为起点的道路 f: [0,1] \to B 在E中都有唯一的一条以 e_{0} 为起点的道路 \tilde{f}: [0,1] \to E 作为它的提升。B中任何一个道路同伦映射 F: I^{2} \to B, \, F(0,0)=b_{0} 在E中都有唯一的一个道路同伦映射 \tilde{F}: I^{2} \to E, \, \tilde{F}(0,0)=e_{0} 是 F 的提升。若B中的两条道路是道路同伦的,则它们在E的提升也是道路同伦的

(7)提升对应定理:设 p: E \to B 是覆叠映射,p(e_{0})=b_{0},如果E是道路连通的,则p的提升对应 \phi: \pi_{1}(B, b_{0}) \to p^{-1}(b_{0}) 是满射,如果E是单连通的,则 \phi 是双射

(8)广义提升对应定理:设 p: E \to B 是覆叠映射,p(e_{0})=b_{0},则p的诱导同态 p_{\ast}: \pi_{1}(E,e_{0}) \to \pi_{1}(B, b_{0}) 是单同态;同态的像为 \pi_{1}(B,b_{0}) 的子群,记作 H_{0}=p_{\ast}(\pi_{1}(E,e_{0})), 则p的提升对应诱导的商映射 \Phi: \pi_{1}(B, b_{0})/H_{0} \to p^{-1}(b_{0}) 是单射(即 H_{0} 的右陪集构成的族到 p^{-1}(b_{0}) 的映射),并且当E道路连通时, \Phi 是双射;如果 f 是B中以 b_{0} 为基点的回路,则 [f] \in H_{0} 当且仅当 f 的提升为E中一条以 e_{0} 为基点的回路

(9)圆周的基本群:\pi_{1}(S^{1}, x_{0}) \cong Z ,即单位圆周 S^{1} 的基本群同构于整数加法群,因而也是无限阶循环群 (注意群的所有元素可由一个元素来生成时称为循环群。无限阶循环群同构于整数加法群,k阶循环群同构于整数模k同余类加法群 Z/k)

证明思路:利用覆叠映射 p: R \to S^{1} 和提升对应是双射的特征

(10)零伦的充要条件:映射 f: X \to Y 是零伦当且仅当f可以扩张到锥形CX上;连续映射 f: S^{n} \to Y 是零伦当且仅当它可扩张到球 B^{n+1} 上

(11)非收缩定理:对每一个n,不存在收缩映射 r: B^{n+1} \to S^{n}

证明思路:对2维的情况可用基本群来证,更高维的情况需要用到同调群

推论:内射 j: S^{n} \to R^{n+1}-0 不是零伦的,恒等映射 i: S^{n} \to S^{n} 也不是零伦的

(12)B^{n} 上每个非蜕化的向量场 v(x)=\sum_{i=1}^{n}v_{i}(x)\vec{e_{i}}, \, x \in B^{n} 必定在 S^{n-1} 的某一点处直指内向(即指向球心方向),也在 S^{n-1} 的某一点处直指外向(即球心方向相反的方向)

(13)Brouwer不动点定理:每一个连续映射 f: B^{n} \to B^{n} 至少有一个不动点。可推广到凸紧集上,即每个欧氏空间中的凸紧子集到自身的连续映射至少有一个不动点;

Schauder不动点定理:这是更一般的推广。每个巴拿赫空间中的凸紧子集到自身的连续映射至少有一个不动点

(14)Frobenius定理(经典形式):每一个 n \times n 阶正实数矩阵必有正的特征根

(15)如果 h: S^{n} \to S^{n} 是零伦的,则 h 必有一个不动点,同时h也必将某一个点 x 映为它的对径点 -x

(16)代数基本定理:实系数或复系数的 n>0 次方程 x^{n}+a_{n-1}x^{n-1} +...+ a_{1}x+a_{0}=0 至少有一个(实的或复的)根

证明思路:

第一步,考虑由 f(z)=z^{n} 定义的映射 f:S^{1} \to S^{1} ,其中z为复数。证明它的诱导同态 f_{\ast} 是一个单射;

第二步,定义映射 g: S^{1} \to R^{2}-0 为 g(z)=z^{n},证明g不是零伦的;

第三步,证明特殊情形,若方程满足条件 \left | a_{n-1} \right |+...+\left | a_{1} \right |+\left | a_{0} \right |<1 ,则在单位球体 B^{2} 中有一个根;

第四步,证明一般情形

(17)不存在连续的奇映射 g: S^{n+1} \to S^{n},即存在奇映射 S^{m} \to S^{n} 的必要条件是 m \leq n

(18)Borsuk-Ulam定理:若 f: S^{n} \to R^{n} 是连续映射,则存在一点 x \in S^{n} 使得 f(x)=f(-x)

推论:S^{n} 不能嵌入到 R^{n} 中,R^{n} 的任何子集都不与 S^{n} 同胚;

推论:如果用 n+1 个开集来覆盖球面 S^{ n} ,那么其中一定有一个开集含有一对对径点(与博苏克-乌拉姆定理等价);

气象定理:任意时刻地球表面总有一对对径点处的温度和气压分别相等,这里假设温度和气压的变化是连续的。这是上述定理在n=2的情形。

(19)Stone-Tukey定理(火腿三明治定理):如果 A_{1},...,A_{n} 是 R^{n} 中的有界可测集,则在 R^{n} 中存在一个 n-1 维超平面平分这些集合中的每一个,即每个集合都被平分成测度相等的两个子集。特别地,对 R^{2} 中两个有界多边形区域,在 R^{2} 中必存在一条直线平分这两个区域的每一个

推广(Gromov):一个n元不超过d次的多项式由 \binom{n+d}{d} 个参数决定。因此给定 \binom{n+d}{d}-1 个可测开集,存在某个由不超过d次的多项式定义的超曲面将这些集合一一平分。

(20)形变收缩的性质:

如果A是拓扑空间X的形变收缩核,则A与X同伦等价;

空间X是可缩空间的充要条件是X的任意一点是它的形变收缩核;由此可缩空间都是道路连通的;

任何凸集都是可缩空间;

锥形的顶点是它的强形变收缩核,从而锥形是可缩的;

若A是X的一个形变收缩核,x_{0} \in A,则内射 j: (A, x_{0}) \to (X, x_{0}) 诱导出基本群之间的同构,即 j_{\ast}: \pi_{1}(A,x_{0}) \to \pi_{1}(X, x_{0}) 是群同构。特别地,内射 j: S^{n} \to R^{n+1}-0 诱导出基本群之间的同构;

8字形空间 B_{0}=(S^{1} \times b_{0}) \cup (b_{0} \times S^{1}) ,以及 \theta 空间 \theta=S^{1}\cup (0 \times [-1,1]),都是穿双孔平面 R^{2}-p-q 的形变收缩核,因而它们有相同的伦型,但是其中一个不同胚于另一个的形收缩核,这说明了同伦等价与同胚的区别;

(21)一些拓扑不变量:

基本群是同伦不变量:如果两个拓扑空间之间的映射 f: X \to Y 是同伦等价,那么诱导同态 f_{\ast}: \pi_{1}(X,x_{0}) \to \pi_{1}(Y, f(x_{0})) 是群同构。同伦不变量当然也是同胚不变量;

连通分支个数是同伦不变量:同伦等价的拓扑空间的连通分支个数相同,即连通分支个数是拓扑空间的同伦不变量

(22)Fuchs定理:两个空间X和Y同伦等价当且仅当存在一个空间Z和两个嵌入映射 h: X \to Z, \, k: Y \to Z ,使得h(X), k(Y) 都是Z的形变收缩核。 也就是当且仅当X,Y分别同胚于同一个空间Z的两个形变收缩核

(23)Van Kampen定理的特殊情形:若X是两个开集的并即 X=U\cup VU \cap V 是道路连通的,x_{0} \in U\cap V,映射 i: U \to X, \, j: V \to X 都是内射,则诱导同态 i_{\ast}: \pi_{1}(U,x_{0}) \to \pi_{1}(X, x_{0}) 和 j_{\ast}: \pi_{1}(V,x_{0}) \to \pi_{1}(X, x_{0}) 的像生成 \pi_{1}(X,x_{0})

推论:若X是两个开集的并即 X=U\cup VU \cap V 非空且是道路连通的,如果U和V都是单连通的,则X也是单连通的

(24)球极投影:穿孔球面 S^{n}-p 同胚于 R^{n} 。设 p=(0,...,0,1) \in R^{n+1} 为 S^{n} 的北极,定义映射 f: (S^{n}-p) \to R^{n} 为 f(x)=f(x_{1},...,x_{n+1})=\frac{1}{1-x_{n+1}}(x_{1},...,x_{n+1}) ,则 f 就是一个同胚,f 称为球极投影,北极p称为投影中心。连接 S^{n}-p 上的点x与北极点p的直线与n维平面 R^{n} \times 0 \subset R^{n+1} 交于点 f(x) \times 0 ,从而把点x一一地映为 f(x) \times 0

以 R^{3} 中的2维球面 S^{2} 到平面的球极投影为例。设球的半径为r,过球心O且与ON(N为北极点,是投影中心)垂直的平面α作为投影平面,过球面上的任意一点P和极N的直线与投影平面α的交点为P′,则点P到点P′的映射就称为球极投影。球极投影在现代几何与复分析中起到非常重要的作用。

球极投影的性质:

反演性:球极投影是一种特殊的双曲型反演,反演的极是投影中心N,设点S与S′也是球极投影的对应点,则有 NP\cdot NP^{'}=NS\cdot NS^{'}=2r^{2} ,反演球的球心为N,半径为 \sqrt{2} \, r ;

保圆性:球面上不过投影中心的圆与投影平面上一个圆相对应,过投影中心的圆与投影平面上一条直线相对应;

保角性:投影的时候,球面上两个弧线之间的夹角保持不变。

(25)球面的基本群:当 n \geq 2 时,球面 S^{n} 是单连通的,因而其基本群是平凡群

(26)当 m\neq n 时,R^{m} 与 R^{n} 不同胚

(27)乘积空间的基本群:\pi_{1}(X \times Y, x_{0} \times y_{0}) \cong \pi_{1}(X,x_{0}) \times \pi_{1}(Y,y_{0})

(28)某些曲面的基本群:

环面 T=S^{1} \times S^{1} :\pi_{1}(S^{1} \times S^{1}, x_{0}) \cong Z \times Z ,它是秩为2的自由Abel群,由两个生成元 \alpha, \beta 及其单一关系 \alpha \beta \alpha^{-1} \beta^{-1} 组成的表示;

射影空间 P^{n} :射影空间 P^{n} 是紧致的,并且商映射 p: S^{n} \to P^{n} 是覆叠映射。由 S^{n} 的单连通性可知 \phi: \pi_{1}(P^{n}, b_{0}) \to p^{-1}(b_{0}) 是双射,p^{-1}(b_{0}) 是二元素集,因而基本群 \pi_{1}(P^{n}, x) 是2阶群,它是整数模2同余类的加法群 Z/2 (注意素数阶群一定是循环群);

8字形空间 B_{0}=(S^{1} \times b_{0}) \cup (b_{0} \times S^{1}):基本群 \pi_{1}(B_{0}, x) 是由两个生成元生成的自由群,它是非交换群。注意8字形空间是环面的子空间;

双环面 T^{2}=T \sharp T:基本群 \pi_{1}(T^{2}, x) 是非交换群,注意8字形空间是双环面的一个形变收缩核

(29)2维球面、环面、射影平面、双环面从拓扑上看都是不同的,即它们互不同胚

 

平面分割定理


(1)连通空间的分割:设X是连通空间,A\subset X,如果 X-A 是不连通的,则称A分割X。如果 X-A 有n个连通分支,称A将X分割成n个分支

(2)弧:同胚于单位区间 [0,1] 的空间A。A中的两个点p和q称为A的端点,如果p, q使得A-p和A-q都是连通的。A中的其他点称为A的内点

简单闭曲线:同胚于单位圆周 S^{1} 的空间

(3)(有限)线性图:一个Hausdorff空间G,可以表示成有限多段弧的并,其中每对弧最多交于一个公共端点。这些弧称为G的边,这些弧的端点称为G的顶点。G的每条边因为是紧致的,所以在G中是闭的。G的拓扑维数为1

(4)完全图:每对互异顶点都一条边连接的线性图。n个顶点的完全图记作 G_{n} 

(5)气水电图:有6个顶点的特殊二分图。顶点集分割成两个子集A, B,它们各有3个顶点,A中的每个顶点与B中所有顶点都有边连接

(6)环绕数:f: [0,1] \to R^{2} 是 R^{2} 中的回路,点a不是 f 的像点,p: R \to S^{1} 是标准覆叠映射 p(x)=(cos2\pi x, sin2\pi x),定义道路 g: [0,1] \to S^{1} 为

g(s)=\frac{f(s)-a}{\left \| f(s)-a \right \|}

则 g 是S^{1} 中的回路,这样它在 R 中的道路提升的两端之差 \tilde{g}(1)-\tilde{g}(0) 是整数,这个整数称为f关于点a的环绕数,记为 n(f, a)

(7)自由同伦:若连续映射 F: I \times I \to X 对任意的 t 有 F(0, t)=F(1, t),那么对每一个 t ,映射 f_{t}(s)=F(s,t) 是X中的回路,映射 f 称为 f_{0}, f_{1} 之间的一个自由同伦。自由同伦是回路之间的同伦映射,在同伦的形变过程中回路的基点允许移动

(8)简单回路:若 f 是X中的回路,并且 f(s)=f(t) 当且仅当 s=t 或 s, t中一个为0另一个为1,则称 f 是简单回路。如果 f 是一条简单回路,则它的像集是X中一条简单闭曲线

(9)逆时针回路/顺时针回路:对 R^{2} 中的简单回路 f,如果对 R^{2}-f(I) 的有界分支中的任意一点 a 有 n(f, a) = +1,则称 f 为逆时针回路;如果 n(f, a) = -1 则称 f 为顺时针回路。可见标准回路 p(x)=(cos2\pi x, sin2\pi x) 是逆时针回路

 

主要定理:

(1)零伦引理:设紧致空间A到穿双孔球面的连续映射为 f: A \to R^{2}-a-b ,如果点a和b属于 S^{2}-f(A) 的同一分支,那么 f 是零伦的

(2)同伦扩张引理:设X的闭子空间A到 R^{n} 的开子空间Y的连续映射为 f: A \to Y,且 X \times I 是正规的,如果 f 是零伦的,则 f 可扩张为一个连续映射 g: X \to Y ,并且 g 也是零伦的

(3)Borsuk引理:设紧致空间A到穿双孔球面的映射 f: A \to R^{n}-a-b 是一个连续单射,如果 f 是零伦的,则点a和b属于 S^{n}-f(A) 的同一分支上

证明思路:可以用非收缩定理来证

(4)Jordan分割定理:S^{n} 中任意同胚于 S^{n-1} 的子空间C都会分割 S^{n} 。特别地, S^{2} 中一条简单闭曲线分割 S^{2} 。(推广:如果 S^{2} 的两个连通闭子集 A_{1}, \, A_{2} 只交于两点,则它们的并 C=A_{1} \cup A_{2} 分割 S^{2} )

(5)不分割定理:S^{n} 中的任意紧致可缩子空间都不会分割 S^{n}。特别地,S^{n} 中任意同胚于单位区间[0,1]或某一个球 B^{m} 的子空间A都不会分割 S^{n} 。(推广:如果 S^{2} 的两个闭子集 D_{1}, \, D_{2} 都不分割 S^{2} ,并且 S^{2}-(D_{1} \cap D_{2}) 是单连通的,则它们的并 C=D_{1} \cup D_{2} 不分割 S^{2} )

证明思路:2维的情况可用基本群和覆叠映射来证,高维的情况用同调群来证

(6)Jordan曲线定理:S^{n} 中任意同胚于 S^{n-1} 的子空间C都会分割 S^{n} 为两个分支 W_{1}, W_{2} ,C是这两个分支的公共边界,即 C=\overline{W_{1}}-W_{1}=\overline{W_{2}}-W_{2} 。特别地,S^{2} 中的一条简单闭曲线C恰好将 S^{2} 分割成两个分支,并且C是它们的公共边界。(推广:如果 S^{2} 的两个连通子集 C_{1}, \, C_{2} 都不分割 S^{2} ,并且只交于两点,则它们的并 C_{1} \cup C_{2} 将 S^{2} 分割成两个分支)

(7)Schoenflies定理:若C是 S^{2} 中的一条简单闭曲线,U和V是 S^{n}-C 的两个分支,则 \bar{U} 和 \bar{V} 同胚于单位闭球 B^{2} 。注意如果不对空间C到 S^{n} 的嵌入加一些条件,该定理不能推广到高维。Alexander角球就是一个反例

(8)如果 S^{n} 的某一个闭子空间C将 S^{n} 分割为k个分支,那么每一个同胚于(甚至同伦等价于)C的子空间也会将 S^{n} 分割成为k个分支

(8)区域不变性定理:若U是 R^{n} 中的任意开集,f: U \to R^{n} 是任意连续的单射,则 f(U) 是 R^{n} 中的开集,并且 f 是一个嵌入映射

这是欧氏空间的一个内蕴性质,数学分析中的反函数定理是在增加了 f 是连续可微并且有非奇异Jacobi矩阵的条件下得到的

(9)单连通开集的刻画:设U是 R^{2} 中的一个单连通开集,如果C是包含在U中的一条简单闭曲线,那么 R^{2}-C 的每一个有界分支都包含于U

(10)气水电图不嵌入平面,5个顶点的完全图也不能嵌入平面

(11)Kuratowski定理:线性图G不能嵌入平面,当且仅当G包含一个子图是气水电图或5个顶点的完全图

(12)若C是 S^{2} 中一条简单闭曲线,p和q属于 S^{2}-C 的不同分支,那么内射 j:C \to S^{2}-p-q 诱导的群同态 j_{\ast}: \pi_{1}(C,x_{0}) \to \pi_{1}(S^{2}-p-q, x_{0}) 是同构

(13)环绕数的性质:f: [0,1] \to R^{2}-a 是 R^{2}-a 中的一条回路,

若 \bar{f} 是 f 中的逆,则 n(\bar{f}, a)=n(f,a) ;

若 f 通过 R^{2}-a 中的回路自由同伦于 g,则 n(f, a) = n(g, a);

若a和b属于 R^{2}-f(I) 的同一个分支,则 n(f, a) = n(f, b) ;

若 g 是 R^{2} 中的简单回路,当点a属于 R^{2}-g(I) 的一个无界分支时 n(g, a) = 0,当a属于一个有界分支时 n(g,a)=\pm 1 

(14)环绕数与复积分的关系:设 f 是复平面上的一条分段可微的回路,a是一个不在f的像中的点,则

 n(f,a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{f}\frac{dz}{z-a} 

在复分析中就是用这个等式来定义环绕数

(15)Cauchy积分公式:设C是复平面上的一条分段可微的简单闭曲线,B是 R^{2}-C 的一个有界分支,如果复变函数F(z)在包含B和C的开集\Omega上上是解析的,则对B中的每一点 a 都有

F(a)=\pm \frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{F(z)}{z-a}dz

其中当C是逆时针定向的时上式中的符号取 +,反之则取 - 

 

Van Kampen定理


(1)群的直和:这里我们只考虑Abel群,群G的运算用加法表示,单位元用0表示。设 \left \{ G_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J} 是G的子群的一个加标族,若G中的每个元素x都可表示为群族 G_{\alpha} 中有限个成员之和,即 x 可表示成

x=x_{\alpha_{1}}+...+x_{\alpha_{n}}=\sum_{\alpha \in J}x_{\alpha}

其中指标 \left \{ \alpha_{i} \right \} 两两不同,当 \alpha 不是 \left \{ \alpha_{i} \right \} 中的某一个时,约定 x_{\alpha}=0 。则称群族 G_{\alpha} 生成G,群G也称为群族 G_{\alpha} 的和。

如果x的这种表示是唯一的,即对每一个 x \in G ,有且只有一个串 \left ( x_{\alpha} \right )_{\alpha \in J} (该串中仅有有限多个 x_{\alpha}\neq 0 )使得 x=\sum_{\alpha \in J}x_{\alpha} ,则群G称为群族 G_{\alpha} 的直和,记作 G=\bigoplus_{\alpha \in J}G_{\alpha} 。注意由于群的交换性,表示x的字 (x_{\alpha_{1}},...,x_{\alpha_{n}}) 中每个因子恰好属于不同的 G_{\alpha} ,如果不满足,通过因子的交换和重组即可满足这样的条件

(2)外直和:设 \left \{ G_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J} 是阿贝尔群族,若存在一个阿贝尔群G和 一个单同态族 i_{\alpha}: G_{\alpha} \to G,使得 G=\bigoplus_{\alpha \in J}i_{\alpha}(G_{\alpha}) ,则称G为群族 G_{\alpha} 关于单同态族 i_{\alpha} 的外直和。在同构意义下这样的群G是唯一的。注意外直和定义中 G_{\alpha} 不是G的子群族

(3)自由阿贝尔群:设 \left \{ a_{\alpha}\right \} 是阿贝尔群G中的元素族,如果每一个元素 a_{\alpha} 生成G的一个无限循环子群 G_{\alpha} ,并且 G=\bigoplus_{\alpha \in J}G_{\alpha} ,则称G是以元素族 \left \{ a_{\alpha}\right \} 为基的自由阿贝尔群。若G具有有限基,则基元素的个数称为G的秩

(4)挠子群(扭子群):也叫周期群,若群G的所有元素的阶都是有限的,则称G为挠群(扭群);反之,若G的所有非平凡元素的阶都是无限的,则称G为无挠群。若G的所有有限阶元素组成G的子群T,则称T是G的挠子群,也称为G的最大周期子群。T是G的特征子群,并且G/T是无挠群。注意群的挠子群一般未必存在,自由阿贝尔群必定是无挠群

(5)群的自由积:考虑一般的群而不只限于Abel群,群G的运算用乘法表示。设 \left \{ G_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J} 是G的一个子群族,族中任意两个群的交仅含单位元,若对每一个 x \in G ,有且只有一个含于这些 G_{\alpha} 的元素组成的有限序列 (x_{1},...,x_{n}) 使得 x=x_{1}...x_{n} ,则称群G称为群族 G_{\alpha} 的自由积,记作 G=\prod_{\alpha \in J}G_{\alpha} ,对有限指标集的情形,也可以写作 G=G_{1}\ast G_{2}\ast ... \ast G_{n} 。注意由于群没有交换性的假定,表示x的字 (x_{\alpha_{1}},...,x_{\alpha_{n}}) 不能通过重组因子而达到每一个因子属于不同的 G_{\alpha} 。然而当相邻的因子属于同一个 G_{\alpha} 时可以用其乘积替换,这样不断地约化,最后得到一个约化字,就能满足条件。因此定义中的有限序列总是假定为约化字

(6)外自由积:设 \left \{ G_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J} 是群族,若存在一个群G和 一个单同态族 i_{\alpha}: G_{\alpha} \to G,使得 G=\prod_{\alpha \in J}i_{\alpha}(G_{\alpha}) ,则称G为群族 G_{\alpha} 关于单同态族 i_{\alpha} 的外自由积。在同构意义下这样的群G是唯一的。注意外自由积定义中 G_{\alpha} 不是G的子群族

(7)自由群:设 \left \{ a_{\alpha}\right \} 是群G中的元素族,如果每一个元素 a_{\alpha} 生成G的一个无限循环子群 G_{\alpha} ,并且 G=\prod_{\alpha \in J}G_{\alpha} ,则称G为元素族 \left \{ a_{\alpha}\right \} 上的自由群,并且称 \left \{ a_{\alpha}\right \} 为G的一个自由生成元组

(8)交换子子群(换位子群):用 [x, y] 表示群G中的元素 [x,y]=xyx^{-1}y^{-1} ,它称为x和y的交换子或换位子。由G中所有交换子生成的子群称为G的交换子子群,记作 [G, G]

(9)圆周束:如果X是Hausdorff空间,可以表示成单位圆周 S^{1} 有限个同胚像 S_{1},...,S_{n} 的并,并且存在X的一点p使得只要 i\neq j 便有 S_{i}\cap S_{j}=\left \{ p \right \} ,即点p是它们唯一的公共点,则称X是圆周 S_{1},...,S_{n} 的束

一般的圆周束:设J是指标集(可能为无限集),空间X可以表示成某些同胚于单位圆周的子空间 S_{\alpha} \, (\alpha \in J) 的并,并且存在X的一点p使得只要 i\neq j 便有 S_{i}\cap S_{j}=\left \{ p \right \} ,如果X的拓扑与各个子空间 S_{\alpha} 相通的,也就是说对X的一个子集,如果与每一个 S_{\alpha} 的交为 S_{\alpha} 中的开集,则该子集为X中的开集,这时称X为圆周族 S_{\alpha} 的束

有限圆周束的性质:设 C_{i} 是以 (i, 0) 为圆心,i 为半径的圆周,则X同胚于 C_{1}\cup ...\cup C_{n} ;

一般圆周束的性质:若X是圆周 S_{\alpha} \, (\alpha \in J) 的束,则X是正规Hausdorff空间,X的任意一个紧致子空间都包含在有限多个圆周 S_{\alpha} 的并之中

(10)n-叠小丑帽:设 n >1 为正整数,r: S^{1} \to S^{1} 是以 2\pi/n 为旋转角的旋转变换,它将点 (cos\theta,sin\theta) 映为点 (cos(\theta+2\pi/n),sin(\theta+2\pi/n)) ,在单位球 B^{2} 内将 S^{1} 中的每一个点x与点 r(x),r^{2}(x),...,r^{n-1}(x) 等同起来,得到的商空间记为X,称X为n-叠小丑帽

性质:n-叠小丑帽X是紧致的Hausdorff空间,并且同胚于2维射影平面 P^{2} (即 S^{2} 中等同每一个点 x 和它的对径点 -x 而得到的商空间)

 

主要定理:

(1)直和的扩展条件:设子群族 \left \{ G_{\alpha}\right \} 生成阿贝尔群G,则 G=\bigoplus_{\alpha \in J}G_{\alpha} 当且仅当对任意阿贝尔群H和任意同态族 h_{\alpha}: G_{\alpha} \to H ,存在唯一的同态 h: G \to H,使得对每一个 \alpha ,h 在 G_{\alpha} 上的限制等于 h_{\alpha}

(2)直和的性质:

若 G=G_{1} \bigoplus G_{2}, \, G_{1}=\bigoplus_{\alpha \in J}H_{\alpha}, \, G_{2}=\bigoplus_{\beta \in K}H_{\beta} ,且指标集J和K无交,则 G=\bigoplus_{\gamma \in J \cup K}H_{\gamma} ;

若 G=G_{1} \bigoplus G_{2} ,则 G/G_{2} \cong G_{1} 。

(3)直和的存在性:若 \left \{ G_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J} 是阿贝尔群族,那么存在一个阿贝尔群G和一个单同态族 i_{\alpha}: G_{\alpha} \to G,使得 G=\bigoplus_{\alpha \in J}i_{\alpha}(G_{\alpha})。群G也称为这个群族 G_{\alpha} 的外直和。

(4)直和的唯一性:若 \left \{ G_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J} 是阿贝尔群族,G, \, {G}' 都是阿贝尔群,i_{\alpha}: G_{\alpha} \to G, \, i_{\alpha}^{'}: G_{\alpha} \to G^{'} 都是单同态族,G=\bigoplus_{\alpha \in J}i_{\alpha}(G_{\alpha}), \, G^{'}=\bigoplus_{\alpha \in J}i_{\alpha}^{'}(G_{\alpha}) ,则存在唯一的同构 \phi : G \to G^{'} 使得 \phi \circ i_{\alpha}=i_{\alpha}^{'} 对每一个 \alpha 都成立。

注意外直和定义中 G_{\alpha} 不是G的子群族,但是因为G的存在性和同构意义下的唯一性,有时也将群 G_{\alpha} 与它的像 i_{\alpha}(G_{\alpha}) 等同,将G视为通常的直和,而不是外直和,即记作 G=\bigoplus_{\alpha \in J}G_{\alpha}

(5)自由Abel群的性质:自由Abel群G的任何子群都是自由Abel群,并且其秩不超过G的秩。若G是以 \left \{ a_{1},...,a_{n} \right \} 为基的自由Abel群,则 n 是由G唯一确定的。两个自由Abel群同构,当且仅当它们的基有相同的基数

(6)自由积的扩展条件:设 \left \{ G_{\alpha}\right \} 是群G的子群族,则 G=\prod_{\alpha \in J}G_{\alpha} 当且仅当对任意群H和任意同态族 h_{\alpha}: G_{\alpha} \to H ,存在唯一的同态 h: G \to H,使得对每一个 \alpha ,h 在 G_{\alpha} 上的限制等于 h_{\alpha}

(7)自由积的存在性:若 \left \{ G_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J} 是群族,那么存在一个群G和一个单同态族 i_{\alpha}: G_{\alpha} \to G,使得 G=\prod_{\alpha \in J}i_{\alpha}(G_{\alpha}) 

(8)自由积的唯一性:若 \left \{ G_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J} 是群族,G, \, {G}' 都是群,i_{\alpha}: G_{\alpha} \to G, \, i_{\alpha}^{'}: G_{\alpha} \to G^{'} 都是单同态族,G=\prod_{\alpha \in J}i_{\alpha}(G_{\alpha}), \, G^{'}=\prod_{\alpha \in J}i_{\alpha}^{'}(G_{\alpha}) ,则存在唯一的同构 \phi : G \to G^{'} 使得 \phi \circ i_{\alpha}=i_{\alpha}^{'} 对每一个 \alpha 都成立。

这样我们也时常将群 G_{\alpha} 与它的像 i_{\alpha}(G_{\alpha}) 等同,将G视为通常的自由积,而不是外自由积,即记作 G=\prod_{\alpha \in J}G_{\alpha}

(9)自由积的性质:

若 G=G_{1} \ast G_{2}, \, G_{1}=\prod_{\alpha \in J}H_{\alpha}, \, G_{2}=\prod_{\beta \in K}H_{\beta} ,且指标集J和K无交,则 G=\prod_{\gamma \in J \cup K}H_{\gamma} ;

若 G=G_{1} \ast G_{2} , N_{1}, N_{2} 分别为 G_{1}, G_{2} 的正规子群,N是G中包含 N_{1}, N_{2} 的最小正规子群,则 G/N \cong (G_{1}/N_{1}) \ast (G_{2}/N_{2}) ;

若N是 G_{1} \ast G_{2} 中包含 G_{1} 的最小正规子群,则 (G_{1} \ast G_{2})/N \cong G_{2} ;

(10)自由群的性质:

由一个元素生成的自由群是无限循环群;

由两个或两个以上元素生成的自由群一定是非Abel群;

自由群的每个非幺元都是无限阶元素;

任何一个群是某个自由群的同态像,从而任何一个群都同构于某个自由群的商群;

两个自由群 G_{1}, G_{2} 的自由生成元组分别为 \left \{ a_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J}, \, \left \{ a_{\alpha}\right \}_{\alpha \in K},且指标集J和K无交,则它们的自由积 G=G_{1} \ast G_{2} 也是自由群,并且具有自由生成元组 \left \{ a_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J \cup K} ;

自由群G的任何子群都是自由群,但是它的自由生成元组基数可能大于G的自由生成元组基数,甚至有可能是无限的;

两个自由群同构,当且仅当它们的自由生成元组有相同的基数

(11)自由群的泛性质:F是自由群, f:F \to G 是同态, g:H \to G 是满同态,则必存同态 h:F \to H,使得 g\circ h=f 

(12)交换子子群性质:对任何群G,交换子子群 [G, G] 是一个正规子群,并且商群 G/[G, G] 是一个Abel群,若 h: G \to H 是G到任意Abel群H的同态,则 h 的核必包含 [G, G] ;

若 G=G_{1} \ast G_{2} ,  G_{1}, G_{2} 分别是m阶和n阶循环群,则m和n是由G唯一确定的,并且 G/[G, G] 的阶为 mn 

(13)自由群与自由Abel群的关系:若自由群G的自由生成元组为 \left \{ a_{\alpha}\right \} ,则 G/[G, G] 是自由Abel群,并且基为 \left \{ \left [ a_{\alpha} \right ]\right \} ,这里 \left [ a_{\alpha} \right ] 表示 G/[G, G] 中 a_{\alpha} 的陪集

(14)有限Abel群结构定理1:对n阶有限Abel群G,设n的唯一因式分解为 n=p_{1}^{e_{1}}...p_{t}^{e_{t}} ,则有

 G\cong \bigoplus _{i=1}^{t}\left ( \bigoplus _{j=1}^{k_{i}}Z/p_{i}^{m_{ij}} \right )

其中 m_{ij} 为一组整数,满足 \sum_{j=1}^{k_{i}}m_{ij}=e_{i} \, (\forall i=1,...t) 。即有限交换群可以唯一地表示为一系列以素数方幂为阶的循环群的直和。所有的这些素数方幂阶数 p_{i}^{m_{ij}} 称为G的初等因子。上述分解表明初等因子是所有有限Abel群在同构关系下的完全不变量

(15)有限Abel群结构定理2:对n阶有限Abel群G,存在唯一的一组正整数 d_{1},...,d_{k} 满足整除关系 d_{1}|d_{2}|...|d_{k},且 \prod_{i=1}^{k}d_{i}=n,使得G可以表示为

 G\cong \bigoplus _{i=1}^{k}Z/d_{i}

这些 d_{i} 称为G的不变因子。注意这个结构定理与上面的结构定理是等价的

(16)有限生成Abel群的结构定理:若G是有限个元素生成的Abel群,则G可分解为一个秩有限的自由Abel子群H和挠子群T的直和,即 G=H \bigoplus T 。H的秩由G唯一确定,因为它是G相对于挠子群的商群的秩,这个数值称为群G的Betti数。子群T可以分解成有限多个阶是素数幂的循环群的直和,这些群的阶数由T唯一确定(从而也由G唯一确定),它们称为G的初等因子

(17)群同构的结论:

两个自由Abel群同构,当且仅当它们的基有相同的基数;

两个自由群同构,当且仅当它们的自由生成元组有相同的基数;

两个有限Abel群同构,当且仅当他们的初等因子相同;

两个有限生成的Abel群同构,当且仅当它们有相同的Betti数和相同的初等因子。

(18)同构问题的不可解性:对非Abel群的同构问题,还没有一个令人满意的答案,这涉及到群表示论。然后即使对有限群的情况,我们也无法确定具有不同表示的两个群是否一定同构或者一定不同构,这就是同构问题的不可解性

(19)Van Kampen定理:将一个拓扑空间的基本群,用覆盖这空间的两个开的且道路连通的子空间的基本群来表示。设X为拓扑空间,有两个开的且道路连通的子空间 U_{1}, U_{2} 覆盖X,即 X=U_{1}\cup U_{2} ,U_{1} \cap U_{2} 也是道路连通的,取一点 x_{0} \in U_{1} \cap U_{2} 作为基本群的基点,设 U_{1} \cap U_{2} 到 U_{1} 及 U_{2} 的包含映射诱导的群同态分别为(省略基点) i_{1}: \pi_{1}(U_{1} \cap U_{2}) \to \pi_{1}(U_{1}), \, i_{2}: \pi_{1}(U_{1} \cap U_{2}) \to \pi_{1}(U_{2}) ,则X的基本群是 U_{1},U_{2} 的基本群的自由积,即

\pi_{1}(X) \cong \pi_{1}(U_{1}) \, \ast_{\pi_{1}(U_{1} \cap U_{2})} \, \pi_{1}(U_{2})

用范畴论表述:拓扑空间的基本群函子保持推出 U_{1} \hookleftarrow U_{1} \cap U_{2} \hookrightarrow U_{2} (注意推出是 U_{1} \cup U_{2} ),即 \pi_{1}(X) 是群范畴中图表 \pi_{1}(U_{1}) \hookleftarrow \pi_{1}(U_{1} \cap U_{2}) \hookrightarrow \pi_{1}(U_{2}) 的推出。

更详细的表述:H是一个群,i_{1}, i_{2}, j_{1}, j_{2} 是下面图表所示内射诱导的同态:

如果 \phi_{1} \circ i_{1} = \phi_{2} \circ i_{2} ,则存在唯一的同态 \Phi: \pi_{1}(X, x_{0}) \to H 使得 \Phi \circ j_{1}=\phi_{1}, \, \Phi \circ j_{2}=\phi_{2} 成立。

推论1:如果 U\cap V 是单连通的,则存在一个同构 k: \pi_{1}(U, x_{0}) \circ \pi_{1}(V,x_{0}) \to \pi_{1}(X,x_{0}) ;

推论2:如果V是单连通的,则存在一个同构 k: \pi_{1}(U, x_{0}) /N \to \pi_{1}(X,x_{0}) ,其中N是包含同态 i_{1}:\pi_{1}(U\cap V, x_{0}) \to \pi_{1}(U,x_{0}) 的像,并且是 \pi_{1}(U,x_{0}) 的最小正规子群 ;

这个定理表明计算一个拓扑空间的基本群,可以把它拆成两个在交处连通的连通开集的并,然后它的基本群由两个开集的基本群和交的基本群以及交到开集、开集到空间的嵌入映射们完全决定。开集的基本群给出生成元,交的基本群给出生成关系。在交不连通的情况下也有表述更复杂的版本,也有其他一些变体。

(20)Van Kampen定理的推广:推广到任意多个开子空间的覆盖。设X是道路连通的拓扑空间,\left \{ U_{t} \right \}_{t \in I} 由道路连通的开集组成,是X的开覆盖,基点 x_{0} 位于所有开集的交集内,对任何 s,t \in I 都有 m \in I 使得 U_{s} \cap U_{t}=U_{m} 。对任意 U_{s} \subset U_{t} 设 i_{st}: \pi_{1}(U_{s}) \to \pi_{1}(U_{t}) 是该包含映射诱导的群同态;对所有 s \in I, j_{s}: \pi_{1}(U_{s}) \to \pi_{1}(X) 是由 U_{s} \subset X 诱导的群同态,H是任意一个群, \phi_{s}: \pi_{1}(U_{s}) \to H 是群同态。那么 \pi_{1}(X) 具有下述泛性质:

如果对所有 s \in I 当 U_{s} \subset U_{t} 时有 \phi_{t} \circ i_{st}=\phi_{s} ,那么存在唯一的群同态 \Phi: \pi_{1}(X) \to H ,使得对所有 s \in I 都有 \Phi \circ j_{s} =\phi_{s} ,这个泛性质唯一地确定了 \pi_{1}(X) 

(21)圆周束的基本群:设X是圆周 S_{\alpha} \, (\alpha \in J) 的束,p是这些圆周的公共点,则 \pi_{1}(X,p) 是一个自由群。若 S_{\alpha} 中的回路 f_{\alpha} 为 \pi_{1}(S_{\alpha},p) 的生成元,则回路族 \left \{ f_{\alpha} \right \} 是 \pi_{1}(X,p) 的一个自由生成元组

(22)设X是一个Hausdorff空间,A是X中的一个道路连通的闭子空间,连续映射 h: B^{2} \to X 将 \partial B^{2}=S^{1} 映到A,将 Int B^{2} 一一地映到X-A,a=h(p), \, p \in S^{1} 为基点,k: (S^{1}, p) \to (A, a) 为限制h而得到的映射,则内射诱导的同态 i_{\ast}: \pi_{1}(A,a) \to \pi_{1}(X,a) 是一个满射,并且它的核是 \pi_{1}(A,a) 中包含 k_{\ast}: \pi_{1}(S^{1}, p) \to \pi_{1}(A, a) 的像的最小正规子群

(23)环面 T=S^{1} \times S^{1} 的基本群:\pi_{1}(S^{1} \times S^{1}, x_{0}) \cong Z \times Z ,它是秩为2的自由Abel群,由两个生成元 \alpha, \beta 及其单一关系 \alpha \beta \alpha^{-1} \beta^{-1} 组成的表示

(24)n-叠小丑帽的基本群:是一个n阶循环群

(25)若G是一个有限表示的群,则存在一个紧致的Hausdorff空间X,其基本群同胚于G。实际上X为2维CW复形
 

曲面分类


(1)黏合边的商空间:平面多边形区域P各边的一个标记,是指P的边集到某一集合S的映射,集合S称为标签集。P的每条边给定一个定向(即有向的边,用端点的排列表示)和一个标签,在P中定义如下等价关系:Int P中的每个顶点仅与自身等价,对具有相同标签的两条边,从其中一条边到另一条边的正线性映射(即保持定向的同胚映射)为h,并且前一条边上的点x与后一条边上的点 h(x) 等价,这样的关系确定P中的一个等价关系,通过这个等价关系得到的商空间X,称为按给定定向和标记黏合P的各边得到的商空间

(2)边的定向标记表:设平面多边形区域P的各顶点为 p_{0},p_{1},..,p_{n} \, (p_{n}=p_{0}) ,a_{1},...,a_{m} 是P的各边的两两不同的标签,其中 a_{i_{k}} 是边 p_{k-1}p_{k} 的标签,当该边的定向是从 p_{k-1} 到 p_{k} 时令 \varepsilon_{k}=1 ,反之则 \varepsilon_{k}=-1 。这样P的各边和标记表示为

w=(a_{i_{1}})^{\varepsilon_{1}}(a_{i_{2}})^{\varepsilon_{2}}...(a_{i_{n}})^{\varepsilon_{n}}

形式符号 w 称为P的各边的一个长度为n的标记表,它只是由一系列标签和指数 +1, \, -1 组成,指数 +1 一般可以省略

(3)曲面(2-维流形):具有可数基的Hausdorff空间,它的每一点都有一个邻域同胚于 R^{2} 中的某一个开子集

(4)常见曲面的标记表:

单位球 B^{2} :三角形区域通过标记表 baa^{-1} 得到的空间;

单位球面 S^{2} :矩形通过标记表 aa^{-1}bb^{-1} 得到的空间;

环面 S^{1} \times S^{1} :矩形通过标记表 aba^{-1}b^{-1} 得到的商空间,商映射为 p \times p: I \times I \to S^{1} \times S^{1} ;

射影平面 P^{2} :它是单位球面 S^{2} 中等同每一个点 x 和它的对径点 -x 而得到的商空间,由于矩形同胚于单位球面,因此它是矩形通过标记表 abab 得到的空间;

Mobius带:矩形通过标记表abac黏合相应边所得到的空间。Mobius不是一个曲面,它是一个带边曲面,它同胚于射影平面 P^{2} 挖掉一个开圆盘而得到的空间;

n-重环面:由4n条边的多边形区域借助于标记表 (a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1})(a_{2}b_{2}a_{2}^{-1}b_{2}^{-1})...(a_{n}b_{n}a_{n}^{-1}b_{n}^{-1}) 所得到的空间,称为环面的n-重连通和,或简称为n-重环面,记作 T_{n}=T \sharp ... \sharp T ,或者 nT^{2} ,它是紧致的Hausdorff空间;

m-重射影平面:由 2m (m>1)条边的多边形区域借助标记表 (a_{1}a_{1})(a_{2}a_{2})...(a_{m}a_{m}) 所得到的空间,称为射影平面的m-重连通和,或简称为m-重射影平面,记作 P_{m}=P^{2} \sharp ... \sharp P^{2} ,或者 mP^{2} ,它是紧致的Hausdorff空间;

Klein瓶:矩形区域通过标记表 aba^{-1}b 黏合相应边所得到的空间。它同胚于2-重射影平面 P^{2} \sharp P^{2} ;

(5)一维同调群:设X是道路连通空间,定义其基本群关于交换子子群的商群 H_{1}(X)=\pi_{1}(X, x_{0})/[\pi_{1}(X,x_{0}),\pi_{1}(X,x_{0})] ,这个群称为X的一维同调群,它是一个Abel群。定义中省略了基点,因为两个不同基点的基本群的阿贝尔化之间存在唯一的一个道路诱导同构

(6)标记表的初等运算:标记表之间的初等运算包括切割、黏合、置换、翻转、换标签、删除、反删除

(7)标记表的等价:两族多边形区域的两个标记表是等价的,如果可以经过一系列的初等运算将其中一个标记表化为另一个。由于每一个初等运算的逆运算也是一个初等运算,所以上述关系是一个等价关系

(8)恰当标记表:设 w_{1},...,w_{k} 为多边形区域 P_{1},...,P_{k} 的标记表,如果上述标记表中每个标签恰好出现两次,则称为恰当标记表

(9)环形标记表/射影形标记表:对单一多边形区域的一个恰当标记表 w ,如果对 w 中的每一个标签,指数+1和-1各出现一次,则称 w 为环形标记表,否则称为射影形标记表

(10)三角剖分:设X是一个紧致Hausdorff空间,X中的一个子空间A如果同胚于平面上的一个闭三角形区域T,则A称为X中的一个三角形,同胚记为 h: T \to A。X的一个三角剖分是X中的三角形的一个族 A_{1},...,A_{n} ,它们的并为X,并且任两个的交 A_{i} \cap A_{j} ,或者为空,或者是 A_{i},A_{j} 的公共顶点,或者是两者的公共边。此外,设 h_{i}:T_{i} \to A_{i} 为相应于 A_{i} 的同胚,当 A_{i} \cap A_{j} 为它们的一个公共边e时,要求映射 h_{j}^{-1}h_{i} 是 T_{i} 的边 h_{i}^{-1}(e) 与  T_{j} 的边 h_{j}^{-1}(e)  之间的一个线性同胚。如果X有一个三角剖分,则称X是可三角剖分的

(11)带边曲面(带边2-维流形):具有可数基的Hausdorff空间,它的每一点都有一个邻域同胚于上半平面 H^{2}=\left \{ (x_{1},x_{2}) \,|\, x_{2}\geq 0 \right \} 中的一个开子集。X的边界 \partial X 是由X中没有邻域同胚于 R^{2} 的开子集的那些点x组成的集合

例子:R^{2} 中的闭单位球是一个带边2-维流形

(12)具有k个洞的2-维流形:是边界有k个分支的带边2-维流形。设 U_{1},...,U_{k} 是2-维流形X中一个无交的开集族,对每一个i 存在单位球到 U_{i} 的同胚 h_{i}: B^{2} \to U_{i} ,B_{\varepsilon} 是半径为 1/2 的开球,则空间 Y=X-\bigcup_{i=1}^{k}h_{i}(B_{\varepsilon}) 是一个带边2-维流形,并且 \partial Y 有 k 个分支。空间Y称为有k个洞的X

 

主要定理:

(1)设X是有限个多边形区域根据它们的一个标记表黏合相应的边所得的空间,则X是一个紧致的Hausdorff空间

(2)设平面多边形区域P各边的一个标记表为 w=(a_{i_{1}})^{\varepsilon_{1}}(a_{i_{2}})^{\varepsilon_{2}}...(a_{i_{n}})^{\varepsilon_{n}} ,X是相应的商空间,\pi: P \to X 是相应的商映射,如果 𝛑 将P的所有顶点映射为X的一点 x_{0} ,并且 a_{1},...,a_{k} 为标记表中所有互不相同的标签,则 \pi_{1}(X,x_{0}) 同构于有 k 个生成元 \alpha_{1},...,\alpha_{k} 的自由群G关于包含着元素 (\alpha_{i_{1}})^{\varepsilon_{1}}(\alpha_{i_{2}})^{\varepsilon_{2}}...(\alpha_{i_{n}})^{\varepsilon_{n}} 的最小正规子群N的商群, 即 \pi_{1}(X,x_{0}) \cong G/N

(3)n-重环面的基本群:若X是n-重环面,G是由2n个生成元 \alpha_{1},\beta_{1},...,\alpha_{n},\beta_{n} 生成的自由群,N是包含着元素 [\alpha_{1}, \beta_{1}][\alpha_{2}, \beta_{2}]...[\alpha_{n}, \beta_{n}] (这里 [\alpha, \beta]=\alpha \beta \alpha^{-1} \beta^{-1} )的最小正规子群,则 \pi_{1}(X, x_{0}) \cong G/N ,并且n>1时它不是一个Abel群

(4)m-重射影平面的基本群:若X是m-重射影平面,G是由m个生成元 \alpha_{1},...,\alpha_{m} 生成的自由群,N是包含着元素 (\alpha_{1})^{2}(\alpha_{2})^{2}...(\alpha_{m})^{2} 的最小正规子群,则 \pi_{1}(X, x_{0}) \cong G/N ,并且m>1时它不是一个Abel群

(5)若N是群F的正规子群,q: F \to F/N 是投射,则投射同态 p: F \to F/[F,F] 诱导一个同构 \phi: q(F)/[q(F),q(F)] \to p(F)/p(N)

(6)n-重环面的一维同调群:H_{1}(X) 是秩为2n的自由阿贝尔群

m-重射影平面的一维同调群:H_{1}(X) 的挠子群 T(X) 的阶为2,并且 H_{1}(X)/T(X) 是秩为 m-1 的自由阿贝尔群

(7)设 T_{n}, P_{m} 分别表示n-重环面和m-重射影平面,则曲面 S^{2},T_{1},T_{2},...,P_{1},P_{2} 中的任何两个都不同胚

(8)标记表的初等运算性质:设m个无交的多边形区域 P_{1},...,P_{m} 的标记表分别为 w_{1},...,w_{m} ,X是通过这些标记表得到的商空间,则标记表的初等运算(包括切割、黏合、置换、翻转、换标签、删除、反删除)不会改变它们对应的商空间X (同胚意义下)

(9)若 w 是一个射影型标记表,则 w 等价于一个具有相同长度且形如 (a_{1}a_{1})(a_{2}a_{2})...(a_{k}a_{k})w_{1} 的标记表,其中 k\geq 1 ,w_{1} 为空或者环型的

(10)设 w 是形如 w=w_{0}w_{1} 的一个恰当标记表,其中 w_{1} 为环型标记表并且没有相同的标签相邻,则 w 等价于形如 w_{0}w_{2} 的标记表,其中 w_{2} 与 w_{1} 具有相同的长度,并且形如 w_{2}=aba^{-1}b^{-1}w_{3} ,w_{3} 是环型的或者为空

(11)设 w 是形如 w=w_{0}(cc)(aba^{-1}b^{-1})w_{1} 的一个恰当标记表,则 w 等价于标记表 w^{'}=w_{0}(aabbcc)w_{1} 

(12)紧致连通曲面分类定理:设X是紧致连通曲面,则X同胚于通过成对地黏合平面多边形区域的边所得的商空间,从而同胚于 S^{2} 、n-重环面 T_{n}、或m-重射影平面 P_{m}

(13)紧致曲面的分类:

每一个紧致曲面都是可三角剖分的;

若X为可三角剖分的紧致曲面,则X同胚于平面上两两无交的三角形区域的一个族通过成对地黏合边所得的空间;

若X为可三角剖分的紧致连通曲面,则X同胚于通过成对地黏合某平面多边形区域的边所得的空间,从而同胚于 S^{2} 、n-重环面 T_{n}、或m-重射影平面 P_{m} 。

(14)带边曲面的分类:设Y为可三角剖分的紧致连通的带边曲面,若边界 \partial Y 有k个分支,则Y同胚于有k个洞的X,其中X是 S^{2} 、n-重环面 T_{n}、或m-重射影平面 P_{m}

 

覆叠空间分类


(1)覆叠空间的等价:设 p: E \to B, \, p^{'}: E^{'} \to B 都是覆叠映射,若存在一个同胚 h: E \to E^{'} 使得 p=p^{'} \circ h ,则称 p, p^{'} 是等价的,同胚 h 称为覆叠映射之间的等价,也称为覆叠空间之间的等价

(2)群的共轭:设 H_{1},H_{2} 是群G的子群,若存在某元素 a \in G 使得 H_{2}=a \cdot H_{1} \cdot a^{-1} ,则称 H_{1},H_{2} 共轭。也就是说,将x映为 a \cdot x \cdot a^{-1} 的同构恰好将群 H_{1} 映为群 H_{2} ,共轭是G的子群族上的一个等价关系,子群H所在等价类称为群H的共轭类

(3)万有覆叠空间:设 p: E \to B 是覆叠映射,若E是单连通的,则E称为B的万有覆叠空间。注意B的任意两个万有覆叠空间是等价的

(4)覆叠变换群:对覆叠映射 p: E \to B ,这个覆叠空间到自身一个等价称为覆叠变换,覆叠变换的复合、逆都是覆叠变换,所以覆叠变换全体组成的集合是一个群,称为覆叠变换群,记作 \mathcal{C}(E,p,B)

(5)正规化子构成的群:设H是群G子群,H在G中的正规化子定义为 N(H)=\left \{ g \,|\, gHg^{-1}=H \right \} ,N(H)是包含H并且H是它的正规子群,N(H)也是G中以H为正规子群的最大子群

(6)覆叠变换诱导的对应:设 p: E \to B 是覆叠映射,p(e_{0})=b_{0}H_{0}=p_{\ast}(\pi_{1}(E,e_{0})) ,则提升对应的商映射 \Phi: \pi_{1}(B,b_{0})/H_{0} \to p^{-1}(e_{0}) 是一个双射。定义覆叠变换诱导的对应 \Psi: \mathcal{C}(E,p,B) \to p^{-1}(e_{0}) 为对每一个覆叠变换 h:E \to E ,有 \Psi(h)=h(e_{0}) 。由于h被它在 e_{0} 的值唯一确定,因此 \Psi 是一个单射

(7)正则覆叠映射:设 p: E \to B 是覆叠映射,p(e_{0})=b_{0}H_{0}=p_{\ast}(\pi_{1}(E,e_{0})) ,若 H_{0} 是 \pi_{1}(B,b_{0}) 正规子群,则p称为正则覆叠映射

(8)群作用的轨道空间:设X是一个空间,G是从空间X到自身的同胚群(即所有同胚映射 f:X \to X 构成的群)的一个子群,对任意 x \in X, \, g \in G ,定义等价关系 x\sim g(x) ,X在该等价关系下的商空间 X/G 称为X在群G作用下的轨道空间,x的等价类称为x的轨道

(9)处处不连续的群作用:设G是空间X的所有同胚构成的群,如果群G在X上的作用,满足对任意 x \in X 和非单位元 g \in G,都存在x的邻域U使得 g(U) 与U无交,则称群G在X上的作用是处处不连续的。可见当 g_{0}\neq g_{1} 时便有 g_{0}(U) 与 g_{1}(U) 无交

(10)处处没有不动点的群作用:设G是空间X上的同胚群,如果群G在X上的作用,满足对任意的非单位元(即非恒等映射) g \in G,都没有不动点,则称群作用G是处处无不动点的

(11)透镜空间:将3维的单位实球面 S^{3}=\left \{ x \in R^{4} \,:\, x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}=1 \right \} 看作两个复变数的空间 C^{2} 中的单位球面 S^{3}=\left \{ (z_{1},z_{2}) \in C^{2} \,:\, \left | z_{1} \right |^{2} + \left | z_{2} \right |^{2}=1 \right \} ,对互素的正整数 (n,k)=1 ,定义映射 h: S^{3} \to S^{3} 为 h(z_{1},z_{2})=(z_{1}e^{2\pi i/n}, z_{2}e^{2\pi ik/n}) ,h 是S^{3} 的同胚群中的元素,则h生成同胚群的一个n阶循环子群 G=Z_{n} ,并且G是处处没有不动点的,轨道空间 S^{3}/G 称为 (n,k) 型透镜空间,记作 L(n,k) ,它是紧致的3-维流形

推广到高维:给定互素的正整数 (p,q_{1},...,q_{n})=1 ,将单位实球面 S^{2n-1} 看作复空间 C^{n} 中的单位球面,定义映射 h: S^{2n-1} \to S^{2n-1} 为 h(z_{1},...,z_{n})=(z_{1}e^{2\pi iq_{1}/p}, ...,z_{n}e^{2\pi iq_{n}/p}) ,则h生成 S^{2n-1} 的同胚群的一个p阶循环子群 G=Z_{p} ,并且G是处处没有不动点的,轨道空间 S^{2n-1}/G 称为 (p,q_{1},...,q_{n}) 型透镜空间,记作 L(p,q_{1},...,q_{n}) ,它是紧致的2n-1维流形

(12)半局部单连通性:在空间B中,如果对每一个 b \in B,存在 b 有一个邻域U,使得内射 i: U \to B 诱导出平凡同态 i_{\ast}: \pi_{1}(U,b) \to \pi_{1}(B,b) ,则称空间B是半局部单连通的

注意该条件弱于真正的局部单连通性,因为局部单连通性意指b的每一个邻域包含着b的某一个单连通的邻域U

 

主要定理:

(1)广义提升对应定理:设 p: E \to B 是覆叠映射,p(e_{0})=b_{0},则p的诱导同态 p_{\ast}: \pi_{1}(E,e_{0}) \to \pi_{1}(B, b_{0}) 是单同态;同态的像为 \pi_{1}(B,b_{0}) 的子群,记作 H_{0}=p_{\ast}(\pi_{1}(E,e_{0})), 则p的提升对应诱导的商映射 \Phi: \pi_{1}(B, b_{0})/H_{0} \to p^{-1}(b_{0}) 是单射(即 H_{0} 的右陪集构成的族到 p^{-1}(b_{0}) 的映射),并且当E道路连通时, \Phi 是双射;如果 f 是B中以 b_{0} 为基点的回路,则 [f] \in H_{0} 当且仅当 f 的提升为E中一条以 e_{0} 为基点的回路

(2)广义提升引理:设 p: E \to B 是覆叠映射,f: Y \to B 是连续映射,p(e_{0})=f(y_{0})=b_{0} ,如果Y是道路连通且局部道路连通的,则 f 存在唯一的提升 \tilde{f}: Y \to E ,使得 \tilde{f}(y_{0})=e_{0} 成立当且仅当 f_{\ast}(\pi_{1}(Y,y_{0}))\subset p_{\ast}(\pi_{1}(E,e_{0}))

(3)覆叠映射等价的存在性:设 p: E \to B, \, p^{'}: E^{'} \to B 都是覆叠映射,p(e_{0})=p^{'}(e_{0}^{'})=b_{0} ,则存在唯一的等价 h: E \to E^{'} ,使得 h(e_{0})=e_{0}^{'} 成立当且仅当两个群 H_{0}=p_{\ast}(\pi_{1}(E,e_{0})), \, H_{0}^{'}=p_{\ast}^{'}(\pi_{1}(E^{'},e_{0}^{'})) 相等

(4)覆叠映射等价的充要条件:设 p: E \to B, \, p^{'}: E^{'} \to B 都是覆叠映射,p(e_{0})=p^{'}(e_{0}^{'})=b_{0} ,则 p, p^{'} 等价当且仅当 \pi_{1}(B,b_{0}) 的两个子群 H_{0}=p_{\ast}(\pi_{1}(E,e_{0})), \, H_{0}^{'}=p_{\ast}^{'}(\pi_{1}(E^{'},e_{0}^{'})) 共轭

例子:

圆周 S^{1} :一个覆叠映射为 p: R \to S^{1} ,另一个为 p: R \to S^{1} , \pi_{1}(S^{1}, b_{0}) 是整数加法群,是一个交换群,其两个子群共轭当且仅当它们相等。因此 S^{1} 的每一个道路连通的覆叠空间都与R或 S^{1} 等价,即同胚于R(这时该空间基本群为Z的平凡子群,因为R是单连通的),或者同胚于 S^{1} (这时该空间基本群为Z的子群 G_{n} ,即由n的所有倍数组成的子群);

环面 T=S^{1} \times S^{1} :若E是T的覆叠空间,则E或者同胚于 R^{2} ,或者同胚于 S^{1} \times R ,或者同胚于T

(5)覆叠映射的性质:

引理1:设 p: E \to B 是覆叠映射,B是道路连通且局部道路连通的,若 E_{0} 为E中的一个道路连通分支,则p的限制 p_{0}: E_{0} \to B 也是覆叠映射;

引理2:设p, q, r都是连续映射,p=r \circ q ,如下图:

若p和r都是覆叠映射,则q也是覆叠映射。若p和q都是覆叠映射,则r也是覆叠映射;

引理3:设 p: E \to B 是覆叠映射,E是单连通的,则对任何一个覆叠映射 r: Y \to B ,存在一个覆叠映射 q: E \to Y 使得 r \circ q=p

这说明为啥E称为万有覆叠空间,它覆叠了B的所有其他覆叠空间;

引理4:设 p: E \to B 是万有覆叠映射,p(e_{0})=b_{0} ,则 b_{0} 有一个邻域U,使得内射 i: U \to B 诱导出平凡同态 i_{\ast}: \pi_{1}(U,b_{0}) \to \pi_{1}(B,b_{0})

例子:

无限耳环:设 C_{n} 是平面上以 (1/n, 0) 为圆心,1/n为半径的圆周,则 X=\bigcup_{n=1}^{\infty}C_{n} 称为无限耳环,原点 (0, 0) 是这些圆周的唯一公共点。无限耳环不存在万有覆叠空间

(6)覆叠变换诱导对应的性质:映射 \Psi 的像等于 \pi_{1}(B,b_{0})/H_{0} 的子群 N(H_{0})/H_{0} 在 \Phi 下的像,即 \Psi(\mathcal{C}(E,p,B))=\Phi(N(H_{0})/H_{0}) ,因此一一映射 \Phi^{-1} \circ \Psi: \mathcal{C}(E,p,B \to N(H_{0})/H_{0} 是两个群之间的一个同构

(7)覆叠变换群的同构:若 p: E \to B 是万有覆叠映射,则它的覆叠变换群与空间B的基本群同构,即 \mathcal{C}(E,p,B) \cong \pi_{1}(B,b_{0}) 

(8)正则覆叠映射的充要条件:若空间X是道路连通与局部道路连通的,G是空间X的所有同胚构成的群,则商映射 \pi: X \to X/G 是一个覆叠映射当且仅当G在X上的作用是处处不连续的。此时覆叠映射 \pi 是正则的并且G是覆叠变换群

(10)群作用的处处不连续与处处无不动点关系:若G是Hausdorff空间X的处处没有不动点的有限同胚群,则G的作用是处处不连续的

(11)透镜空间的分类:透镜空间的基本群为 \pi_{1}(L(p,q))\cong Z_{p} (规定 Z_{1}=1, Z_{0}=Z )。两个透镜空间同伦等价 L(p_{1},q_{1}) \simeq L(p_{2},q_{2}) 当且仅当 p_{1}=p_{2} 。两个透镜空间同胚 L(p_{1},q_{1}) \cong L(p_{2},q_{2}) 当且仅当 p_{1}=p_{2} ,并且 q_{1}\equiv \pm q_{2}(mod \, p_{1}) 或者 q_{1}q_{2} \equiv \pm 1(mod \, p_{1}) 。特别地,L(1,0)=S^{3}, \, L(0,1)=S^{2} \times S^{1}, \, L(1,q) \cong S^{3} 

(12)设空间B是道路连通、局部道路连通且半局部单连通的,b_{0} \in B ,则对 \pi_{1}(B,b_{0}) 中任意的子群H,存在一个覆叠映射 p: E \to B 以及点 e_{0}=p^{-1}(b_{0}) ,使得 p_{\ast}(\pi_{1}(E,e_{0}))=H 

(13)万有覆叠空间的存在性:空间B有一个万有覆叠空间当且仅当B是道路连通、局部道路连通且半局部单连通的

(14)设空间X是道路连通、局部道路连通且半局部单连通的,如果X是具有可数基的正则空间,则 \pi_{1}(X,x_{0}) 是可数的;如果X是紧致Hausdorff空间,则 \pi_{1}(X,x_{0}) 是有限生成的,从而也是可数的

 

在群论中的应用


(1)线性图:一个线性图X是由一些弧 A_{\alpha} (可能为无限条)构成的一个族的并,满足两条弧的交 A_{\alpha} \cap A_{\beta} 或者为空,或者是这两条弧的一个公共端点,并且X的拓扑与这些子空间 A_{\alpha} 的拓扑相通。这些弧称为X的边,弧的端点称为X的顶点。由X的顶点构成的集合记作 X^{0} ,它是X的一个闭的离散子空间

(2)子图:设X是一个线性图,Y是由X中的一些边的并构成的子空间,这时Y在X中的闭的,并且也是一个线性图,Y称为X的子图

(3)树:图X的一个子图T如果是连通的,并且没有闭的约化边路径,则称T是一棵树。如果X没有树以T为真子集,则称树T是极大的树

(4)Euler示性数:有限线性图X的Euler示性数,定义为X的顶点个数减去边的个数,它是一个拓扑不变量,记作 \chi(X) 

(5)群的指数:H是群G的子群,如果H在G中的右陪集族 G/H 是有限的,则其基数称为H在G中的指数

 

主要定理:

(1)线性图的性质:

每一个线性图都是正规空间,因此也是一个Hausdorff空间;

设X是一个线性图,如果C是X的一个紧致子空间,则X中存在一个有限子图Y包含着C,如果C是连通的,则Y也可以选成连通的;

如果X是一个线性图,则X是局部道路连通的和半局部单连通的

(2)图的覆叠空间:设 p: E \to X 是覆叠映射,X是线性图,如果 A_{\alpha} 是X的一条边,B是 p^{-1}(A_{\alpha}) 的一个道路分支,则p是B到 A_{\alpha} 的一个同胚,从而空间E也是一个线性图,以所有空间 p^{-1}(A_{\alpha}) 的所有道路分支为它的边

(3)图的连通性:图X是连通的当且仅当X的每一对顶点能由X中的一条边路径连接

(4)树的连通性:每一棵树都是单连通的,因而它的基本群是平凡群

(5)极大树的性质:

如果X是连通图,则X中的一棵树T是极大的当且仅当它包含X的所有顶点;

如果X是一个线性图(注意可能有无限条边),则X中的每一棵树 T_{0} 都包含在一棵极大的树中

(6)图的基本群:设X是连通图但不是一棵树,则X的基本群是一个非平凡的自由群。实际上,该基本群的一个自由生成元组与X中那些不在极大树T中的边集构成双射

(7)自由群F的子群H必定也是自由群

证明思路:设自由群F的自由生成元组为\left \{ \alpha \,|\, \alpha \in J \right \},X是圆周束 S_{\alpha} (\alpha \in J) ,将X构造成一个线性图,利用它的覆叠空间 p: E \to X 也是线性图,则E的基本群也是自由群

(8)如果X是有限的连通的线性图,则X的基本群的自由生成元组的基数为 1-\chi(X)

(9)设F是一个有n+1 个自由生成元的自由群,H是F的一个子群,如果H在F中的指数为k,则H有 kn+1 个自由生成元

(10)Euler示性数是拓扑不变量:有限线性图X的Euler示性数是一个拓扑不变量,实际上它是同伦不变量,即在同伦等价的映射下Euler示性数保持不变

 

 

参考书籍:

(1)拓扑学:第2版,James R.Munkres

 


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