范畴

（1）范畴：一个范畴C，包括对象类Ob(C)，态射类 $Hom_{C}(A, B)$ ，表示Ob(C)中的所有对象间的态射构成的类，满足

态射复合性： $Hom_{C}(Y,Z) \times Hom_{C}(X,Y) \to Hom_{C}(X,Z)$ 是复合，记作 $(f,g) \mapsto f \circ g$ ，简记为fg

态射结合律： $f(gh)=(fg)h$

存在单位态射（恒等态射）：对任意 $X,Y \in Ob(C)$ ，存在单位元 $1_{X} \in Hom_{C}(X,X), \, 1_{Y} \in Hom_{C}(Y,Y)$ ，使得对任意 $f \in Hom_{C}(X,Y)$ 满足 $f \circ 1_{X}=f=1_{Y} \circ f$ 。注意恒等态射 $1_{X}$ 若存在则是唯一的。

注意范畴是比集合抽象层次更高的数学结构

（2）小范畴：范畴的对象类和态射类都是集合而不是真类，即它的所有箭头只和某个集合的元素一一对应。通俗地说，普通的集合都可以视为小范畴，而所有集合的全体则不能视为集合（可以视为真类，proper class），否则会导致罗素悖论，所以与之相对应的范畴 Set 不是小范畴，它实际上是一个局部小范畴。

局部小范畴：若任意态射类 $Hom_{C}(A, B)$ 都是集合，则称为局部小范畴，即任意两个对象A, B之间的所有箭头只和某个集合的元素一一对应。

有限范畴：箭头总数目有限的范畴

常见的范畴例子：

Set：集合范畴，对象是集合，态射是集合间的映射（函数）；

FinSet：有限集范畴；

Pfn：部分函数范畴；

Top：拓扑空间范畴，拓扑空间与连续映射；

Man：拓扑流形范畴，拓扑流形与连续映射；

Diff：光滑流形范畴，光滑流形与光滑映射；

Met：度量空间范畴；

Vec：线性空间范畴，线性空间与线性映射；

$Vec_{K}$ ：给定域K上的线性空间范畴，域K上的线性空间与K-线性映射；

Grp：群范畴，群与群同态；

Mon：幺半群范畴，幺半群与幺半群同态；

Ab：Abel群范畴，或记作 AbGrp；

Rng：环范畴，环与环同态；

$M_{R}$ ：模范畴，环R上的右模与模同态；

Pos：偏序组范畴，偏序组与偏序组之间的单调映射；

Tot：全序组范畴，全序组与全序组之间的单调映射；

Bool：布尔范畴，对象为布尔代数，映射为结构保持的映射；

$Proof_{T}$ ：逻辑范畴，对象为形式语言T中的句子，映射为 $d:\varphi \to \psi \,\, iff \,\, T \vdash \psi$

这些范畴都是局部小范畴，但都不是小范畴。

（3）范畴图：用节点表示对象，箭头表示态射，就构成范畴的表示图。在表示图中，从X到Y可能有多条路径，如果一条路径里的复合箭头等于另一条路径里的复合箭头，则称这个图是交换的。

范畴论里的可交换图（commutative diagrams）对应着代数里的方程

（4）范畴生范畴：

对偶范畴：对一个范畴C，它的反范畴，或称对偶范畴 $C^{op}$ ，定义为 $C^{op}$ 的对象即C的对象；如果在C中 $f: A \to B$ ，那么在 $C^{op}$ 中 $f: B \to A$ ；单位映射保持不变 $1_{A}^{op}=1_{A}$ ； $C^{op}$ 的映射复合定义为 $f \circ^{op} g=g \circ f$

子范畴：部分对象和部分态射组成的范畴。若 $ob(\mathcal{D}) \subseteq ob(\mathcal{C})$ ；对于D中的任意对象A和B，有 $Hom_{\mathcal{D}}(A,B) \subseteq Hom_{\mathcal{C}}(A,B)$ ，并且D中态射的合成以及每一对象上的恒同态射都与C中相同，则称D是C的子范畴

满子范畴：若范畴D是范畴C的子范畴，并且包含C中所有的态射，即对于D中的任意对象A和B有 $Hom_{D}(A,B) = Hom_{C}(A,B)$ ，则称D是C的满子范畴；

积范畴：若C和D为范畴，可形成一个积范畴 C×D，其对象为由C和D内的对象所组成的对，且态射亦为由C和D内的态射所组成的对。这些对的态射复合是由各元素各自复合；

同余关系：范畴 $\mathcal{C}$ 的态射的同余关系是一个等价关系，定义为如果 f ~ g，则 src(f)=src(g)，tar(f)=tar(g)，在复合有定义的前提下有 $fh \sim gh, \, kf \sim kg$ ；

商范畴：~ 是范畴 $\mathcal{C}$ 的态射上的同余关系，则 $\math{C}/\sim$ 商范畴，对象为 $\mathcal{C}$ 中的对象，态射为 ~ 的等价类。例子：拓扑范畴中的连续映射之间的同伦关系就是一个同余关系，这就得到了 Top/~，即同伦拓扑范畴 hTop ;

切片范畴：设 $B \in ob(\mathcal{C})$ ，考虑 $\mathcal{C}$ 中以B为值域的态射 $f: A \to B$ , 记做对子(A, f) , 构造以(A, f)为对象，态射为 $(A,f) \to (C,g)$ 使得 $\mathcal{C}$ 中的态射 $h:A \to C$ 满足 $gh=f$ , 这样的范畴记为 $\mathcal{C}/B$ ，称为对象B上的切片范畴；

余切片范畴：切片范畴的对偶，记作 $B/\mathcal{C}$ ，其态射方向与切片范畴的方向是相反的

（5）态射的种类：

单态与满态：范畴中的态射 f 如果左可消去的即 $fg=fh \Rightarrow g=h$ ，则称为单态；如果是右可消去的即 $gf=hf \Rightarrow g=h$ ，则称为满态。Set 里的单态就是单射函数，单射函数就是 Set 里的单态。Grp 里的单态就是单射群同态，单射群同态就是 Grp 里的单态。Set 里的满态就是满射函数，满射函数就是 Set 里的满态；

逆态射：对范畴 $\mathcal{C}$ 的态射 $f: C \to D, \, g: D \to C$ ，g是f的右逆当且仅当 $fg=1_{D}$ ，g是f的左逆当且仅当 $gf=1_{C}$ 。若g既是f的左逆也是右逆，则称g是f的逆态射；

截面与回缩：对范畴 $\mathcal{C}$ 的态射 $f: C \to D, \, g: D \to C$ ，如果 $gf=1_{C}$ ，则f称为g的截面，g称为f的回缩；

可裂单态与可裂满态：若态射f有一个左逆，则称f为可裂单态，如果g有一个右逆，则称g为可裂满态；

同构：范畴 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f:C \to D$ 如果存在唯一逆态射 $f^{-1}: D \to C$ ，使得它们复合为恒等态射，则称 f 为同构，称对象C和D是同构的，记作 $C\cong D$ 。如果 f 既是单态又是可裂满态，那么 f 是一个同构；如果 f 既是满态又是可裂单态，那么 f 也是一个同构。注意可裂性意味着存在逆箭头。范畴的对象间的同构是一个等价关系；

平稳范畴：范畴中的每个既单又满的态射都是同构，则称为平稳范畴。Set, Grp, $M_{R}$ 都是平稳范畴，Top, Rng 不是平稳范畴。

主要定理：

（1）对偶原理：设P是一个关于所有范畴的真命题，则将命题P中的所有态射反射得到的新命题 $P^{*}$ 也是一个关于所有范畴的真命题

（2）右逆一定是单态，但单态不一定是右逆；左逆一定是满态，但满态不一定是左逆。在 Set 里，除了形如 $\varnothing \to D$ 的箭头（即态射），所有单态都是一个右逆

（3）选择公理（the Axiom of Choice）：在 Set 中，所有的满态都是一个左逆。等价的说法是每一个满态在 Set 中都可以分裂，即为可裂满态

泛构造

极限：终对象、积、等化子（核）、拉回

余极限（极限的对偶概念）：始对象、余积、余等化子（余核）、推出

（1）终结对象：对象T称为范畴 $\mathcal{C}$ 的终结对象当且仅当且仅当对于每一个对象X，都存在唯一的箭头 $X \to T$ ，它对应于极限；

初始对象：对象I称为范畴 $\mathcal{C}$ 的初始对象当且仅当且仅当对于每一个对象X，都存在唯一的箭头 $I \to X$ ，它对应于余极限；

零对象：既是初始对象又是终结对象，则称该对象为零对象。

例子：

自然数的偏序集范畴 $(N,\leq )$ 中，0是初始对象；

一般地，偏序集范畴 $(S,\leq )$ 有一个初始对象当且仅当该偏序集有一个极小值（minimum）。该范畴有一个终结对象当且仅当该偏序集有一个极大值（maximum）；

在 Set 中，初始对象是空集。任何单元素集合都是一个终结对象；

在 Top 中，空集（视为平凡拓扑空间）是始对象。任何单点元素空间都是一个终对象；

在 Grp 中，平凡单元素群是一个初对象，也是一个终对象；

切片范畴 $\mathcal{C}/X$ 中的对象是形如 $f:A \to X$ 的箭头，其中的 $1_{X}$ 是终对象。

（2）积（直积）：给定范畴 $\mathcal{C}$ 的一族对象 $\left \{ X_{i}: i \in I \right \}$ ，称对象X为这族对象的积，如果存在一族态射 $\left \{ \pi_{i}: X \to X_{i} \right \}$ ，使得对每个对象Y和每一族态射 $\left \{ f_{i}: Y \to X_{i} \right \}$ ，都存在唯一的态射 $f:Y \to X$ 满足 $\pi_{i}f=f_{i}$ 。即任意 i 下图可交换

积记作 $\prod_{i \in I}X_{i}$ ，若该组对象仅有两个，积通常用 $X_{1} \times X_{2}$ 来表示。上图变为：

此时，此唯一态射f也常表示为 $<f_{1},f_{2}>$ 。态射族 $\left \{ \pi_{i}: X \to X_{i} \right \}$ 也称为投射。

积为范畴论中的一种特殊极限，积也是离散子范畴的极限。积不一定存在，但若存在则同构意义下必唯一。即如果 $[O, \pi_{1},\pi_{2}]$ 和 $[O^{'}, \pi_{1}^{'},\pi_{2}^{'}]$ 都是 $X_{1},X_{2}$ 的积，那么存在一个与投射可交换的同构 $f: O \cong O^{'}$ 满足 $\pi_{1}^{'} \circ f=\pi_{1}, \, \pi_{2}^{'} \circ f=\pi_{2}$ 。

积的概念提取了集合的笛卡儿积、群或环的直积、拓扑空间的积等概念的共性。本质上讲，一组对象的积是到这些对象都有态射的最一般性的那个对象。

性质：如果 $<f_{1},f_{2}>=<g_{1},g_{2}>$ ，那么 $f_{1}=g_{1},f_{2}=g_{2}$ 。

例子：Set的积为集合的笛卡儿积，偏序集范畴中一组元素的积为该组元素的最大下界。

（3）余积（上积）：是积的对偶概念。给定范畴 $\mathcal{C}$ 的一族对象 $\left \{ X_{j}: j \in J \right \}$ ，称对象X为这族对象的余积，如果存在一族态射 $\left \{ i_{j}: X_{j} \to X \right \}$ ，使得对任意对象Y和任意一族态射 $\left \{ f_{j}: X_{j} \to Y \right \}$ ，都存在唯一的态射 $f:X \to Y$ 满足 $f \circ i_{j}=f_{j}$ 。即任意 j 下图可交换

余积记作 $\coprod_{j \in J}X_{j}$ 或 $\bigoplus_{j \in J}X_{j}$ ，若该组对象仅有两个，余积通常用 $X_{1} \oplus X_{2}$ 来表示。上图变为：

一族对象的余积是从这些对象都有态射发过来的最不具体的那个对象。

余积例子：集合或拓扑空间的不交并、群的自由积、模或向量空间的直和、偏序集范畴中一组元素的余积是它们的最小上界。

（4）等化子（核）：直观上等化子是使一个或多个态射的值相等的定义域对象的集合。设 $f,g: X \to Y$ 是范畴 $\mathcal{C}$ 里的一对平行箭头。态射 f 和 g 的等化子由对象E和满足 $f \circ eq=g \circ eq$ 的态射 $eq:E \to X$ 组成，当且仅当对任意对象O和态射 $m:O \to X$ ，如果 $f \circ m=g \circ m$ ，则存在唯一的态射 $u:O \to E$ 使得 $eq \circ u=m$ ，即下面范畴图可交换：

等化子 (E, eq) 就是平行态射组成的交换图的极限。如果 $f \circ m=g \circ m$ ，则称态射 $m:O \to X$ 等化 f 和 g 。两个态射的等化子也称为差核，即差值方程 f(x)-g(x) =0 的核（解集、零点集），记作 eq(f, g) 或 ker(f, g) 。

性质：如果 [E, eq] 是一个等化子，那么eq是一个单态。在任何范畴里满态等化子都是同构。任何有拉回和积的范畴都有等化子。

例子：Set中两个函数的等化子为 $Eq(f,g)=\left \{ x \in X \,|\, f(x)=g(x) \right \}$ ，有限函数族的等化子为 $Eq(\mathcal{F})=\left \{ x \in X \,|\, \forall f,g \in \mathcal{F}, f(x)=g(x) \right \}$ 。

（5）余等化子（余核）：是对象上的等价关系诱导的商的抽象。设 $f,g: X \to Y$ 是范畴 $\mathcal{C}$ 里的一对平行箭头。态射 f 和 g 的余等化子由对象Q和满足 $q \circ f=q \circ g$ 的态射 $q: Y \to Q$ 组成，并且这样的(Q, q) 必须具有泛性质的，即对任意其他的元组 $(Q^{'},q^{'})$ ，存在唯一的态射 $u:Q \to Q^{'}$ 使得 $u \circ q=q^{'}$ ，即下面范畴图可交换：

在很多范畴里余等化子对应着自然产生的同余关系。例子：

Set：两个函数 $f,g: X \to Y$ 的余等化子是集合Y上的最小等价关系~（对任意 $x \in X$ 有 $f(x)\sim g(x)$ ）所定义的商。特别地，如果R上集合Y上的等价关系， $r_{1},r_{2}: (R \subset Y \times Y) \to Y$ 是自然投射，则 $r_{1},r_{2}$ 的余等化子就是商集 Y/R ；

Grp：两个群同态 $f,g: X \to Y$ 的余等化子是集合 $S=\left \{ f(x)f(x)^{-1} \,|\, x \in X \right \}$ 的共轭闭包对Y的商群；

Ab：两个阿贝尔群同态 $f,g: X \to Y$ 的余等化子特别简单，它是商群 Y/im(f, g)，这也称为映射 f-g 的余核；

Top：圆周对象 $S^{1}$ 可以看作是从标准0-维复形到标准1-维复形之间的两个内射的余等化子

（6）拉回（纤维积）：拉回是由具有公共上域（即值域）的两个态射 f : X → Z 与 g : Y → Z 组成的图表的极限。态射 f 和 g（或者说余楔图 $X\overset{f}{\rightarrow}Z\overset{g}{\leftarrow}Y$ ）的拉回由一个对象P和两个态射 p1 : P → X与p2 : P → Y组成，使得图表交换：

并且拉回(P, p1, p2)对这个图表必须是具有泛性质的。这便是说，任何其它这样的三元组(Q, q1, q2)一定存在惟一的 u : Q → P 使得图交换

拉回经常写作 $P=X \times_{Z} Y$ 。p1 称为 g 沿着 f 的拉回，p2 称为 f 沿着 g 的拉回。和所有泛构造一样，拉回如果存在必然在同构的意义下是惟一的。拉回可由积和等化子完全确定。

性质：拉回一个单态，得到一个单态，即单态在拉回下是保持的。同构在拉回下也是保持的。在任何具有终对象Z的范畴中，拉回 $X \times_{Z} Y$ 恰好是普通积 $X \times Y$ ；在阿贝尔范畴中拉回是一定存在的

例子：

Set：一对集合的拉回是它们的交集。函数 f 与 g 的拉回是集合 $X \times_{Z} Y=\left \{ (x,y) \in X \times Y \,|\, f(x)=g(y) \right \}$ 。

交换环：对两个交换环同态 f : Z → X , g : Z → Y ，拉回就是它们的纤维积 $X \times_{Z} Y=\left \{ (x,y) \in X \times Y \,|\, f(x)=g(y) \right \}$ 。

（7）推出（纤维余积、纤维和）：推出是由具有公共定义域的两个态射 f : Z → X 与 g : Z → Y 组成的图表的余极限。推出是拉回的范畴对偶。态射 f 与 g （或者说楔子图 $X\overset{f}{\leftarrow}Z\overset{g}{\rightarrow}Y$ ）的推出由一个对象 P 和两个态射 i1 : X → P 与 i2 : Y → P 组成，使得图交换：

并且，推出 (P, i1, i2) 对这个图表必须是具有泛性质的。这就是说，任何其它这样的三元组 (Q, j1, j2)，一定存在一个惟一的 u : P → Q 使得如下图交换：

推出记为 $X+_{Z}Y$ 或 $X\sqcup_{Z}Y$ 。i1 称为 g 沿着 f 的推出，i2 称为 f 沿着 g 的推出。和所有泛构造一样，推出如果存在，则在同构意义下是惟一的。推出可由余积和余等化子完全确定。

性质：满态射的推出是满态射，同构的推出也是同构。

例子：

Set：两个函数的推出是它们值域的并集；

Top：对两个包含映射 f : Z → X , g : Z → Y ，黏合空间 $X \cup_{f} Y$ 就是f和g的推出；

Grp：推出称为共合自由积。可应用于Van Kamper定理的证明；

Ab：推出可以想象为“黏合直和”，以这种方式我们将黏着空间视为"黏合不交并"。

（8）极限：范畴 $\mathcal{C}$ 中的极限或余极限可以用 $\mathcal{C}$ 中的形状（或称图）来定义。形状是集合论中的索引族在范畴论中的类比。两者主要的不同在于，在范畴论中态射也需要索引。在范畴 $\mathcal{C}$ 中，类型 $\mathcal{J}$ 在的形状是指一个协变函子 $F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ ，范畴 $\mathcal{J}$ 被称为形状F的索引范畴，此函子有时也称为 $\mathcal{J}$ 型图。形状 F 可以看做是以 $\mathcal{J}$ 索引 $\mathcal{C}$ 内的对象及态射，F(X) 称为图的顶点，它是被 $\mathcal{J}$ 中的对象X索引的 $\mathcal{C}$ 中的对象。通常最感兴趣的情况是当类型 $\mathcal{J}$ 为小范畴或有限范畴之时，此类图分别被称为“小图”及“有限图”。

锥体：设 $F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ 为一个类型 $\mathcal{J}$ 在范畴 $\mathcal{C}$ 中的形状。一个锥体 $(N,\psi_{X})$ 包括 $\mathcal{C}$ 中的一个对象N ，以及用 $\mathcal{J}$ 内对象X索引的态射族 $\psi_{X}:N \to F(X)$ ，使得对每个 $\mathcal{J}$ 内的态射 $f: X \to Y$ ，均有 $F(f) \circ \psi_{X} = \psi_{Y}$ 。

形状 $F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ 的极限是一个F的锥体 $(L,\phi_{X})$ ，当且仅当对所有其他锥体 $(N,\psi_{X})$ ，存在唯一的态射 $u: N \to L$ ，使得对所有 $\mathcal{J}$ 中的X，都满足 $\phi_{X} \circ u=\psi_{X}$ ，即下图交换：

可以说，锥体 $(N,\psi_{X})$ 能被唯一的因子 u 分解成锥体 $(L,\phi_{X})$ 。此一态射 u 有时称为中介态射。极限也称为泛锥体，因为其具有的泛性质，也可视为是 F 的锥体范畴内的终对象。极限对象 L 够一般，能让所有其他锥体分解；另一方面L也必须够特殊，每个锥体都只可能有一个因子。形状可能不存在极限，但若一个形状存在极限，则此一极限一定是唯一的：在同构下是唯一的。将X变动时对象族F(X)的极限记作 $\lim_{\leftarrow X}F(X)$ 。

极限的例子：终对象、积、等化子（核）、拉回

（9）上极限（余极限）：极限及锥体的对偶概念是上极限及上锥体。形状 $F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ 的上锥体 $(N,\psi_{X})$ 包括 $\mathcal{C}$ 中的一个对象N ，以及用 $\mathcal{J}$ 内对象X索引的态射族 $\psi_{X}:F(X) \to N$ ，使得对每个 $\mathcal{J}$ 内的态射 $f: X \to Y$ ，均有 $\psi_{Y} \circ F(f)= \psi_{X}$ 。

形状 $F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ 的上极限是一个F的锥体 $(L,\phi_{X})$ ，当且仅当对所有其他锥体 $(N,\psi_{X})$ ，存在唯一的态射 $u: L \to N$ ，使得对所有 $\mathcal{J}$ 中的X，都满足 $u \circ \phi_{X} =\psi_{X}$ ，即下图交换：

上极限也称为泛上锥体，也可视为是 F 的上锥体范畴内的始对象。若形状 F 存在上极限，则此上极限在同构下是唯一的。将X变动时对象族F(X)的余极限记作 $\lim_{X \rightarrow}F(X)$ 。

余极限的例子：始对象、余积、余等化子（余核）、推出

（10）有限完备范畴：如果范畴 $\mathcal{C}$ 的任意一个有限图D都有一个极限，就称它是一个有限完全范畴。Set 、FinSet 、Top、代数范畴 Mon, Grp, Ab, Rng 都是有限完备的；

完备范畴（完全范畴）：如果对范畴的任何一个范畴图D（对象为 $D_{i}: i \in I$ ），D上都有一个极限（称为小极限），就称它是一个完备范畴。Set 、Top、代数范畴 Mon, Grp, Ab, Rng 都是完备的，FinSet 不是完备的。

有限余完备范畴：如果对范畴的任何一个有限范畴图D都有一个余极限，就称它是一个有限余完备范畴；

余完备范畴（余完全范畴）：如果对范畴的任何一个范畴图D（对象为 $D_{i}: i \in I$ ），D上都有一个余极限（称为小余极限），就称它是一个余完备范畴。Set 、Top、代数范畴 Mon, Grp, Ab, Rng 都是余完备的，FinSet 不是余完备的。

（11）子对象：M是范畴 $\mathcal{C}$ 的一簇单态射，对M中的一个单态 $f: A \to B$ ，称(A, f) 为对象B的M子对象，若M是 $\mathcal{C}$ 中的全体单态射，则称(A,f)是B的子对象。集合的子集、群的子群、环的子环、子R模、拓扑子空间都子对象的例子；

商对象：E是范畴 $\mathcal{C}$ 的一簇满态射，对M中的一个满态 $f: B \to A$ ，称(f, A) 为对象B的E商对象，若E是 $\mathcal{C}$ 中的全体满态射，则称(f, A)是B的商对象。Set中的商对象就是商集，紧致Hausdorff空间范畴中商对象就是商空间，但是群、环、拓扑空间中的商对象未必是商群、商环、商空间。

（12）良幂范畴：对任意 $A \in ob(\mathcal{C})$ ，A的子对象族 Sub(A) 在同构意义下是一个偏序集，则称 $\mathcal{C}$ 是良幂范畴；

余良幂范畴：对任意 $A \in ob(\mathcal{C})$ ，A的商对象族 Quot(A) 在同构意义下是一个偏序集，则称 $\mathcal{C}$ 是余良幂范畴。

（13）分离集：对象族 $\left \{ B_{i}: i \in I \right \} \subseteq ob(\mathcal{C})$ ，如果对任意一对平行态射 $r,s: B \to C$ ，存在态射 $f: B_{i} \to B$ 使得 $rf \neq sf$ ，则称 $\left \{ B_{i}: i \in I \right \}$ 是 $\mathcal{C}$ 中的一个分离集，若指标 I 是单点集，则称 $B_{i}$ 是 $\mathcal{C}$ 中的一个分离子；

余分离集：对偶地，若对任意一对平行态射 $r,s: B \to C$ ，存在态射 $g: C \to B_{i}$ 使得 $gr \neq gf$ ，则称 $\left \{ B_{i}: i \in I \right \}$ 是 $\mathcal{C}$ 中的一个余分离集，若指标 I 是单点集，则称 $B_{i}$ 是 $\mathcal{C}$ 中的一个余分离子。

分离集和余分离集是比良幂和余良幂条件更弱的条件

（14）指数对象（幂对象）：设 $\mathcal{C}$ 是一个存在二元积的范畴 $\mathcal{C}$ （参考上述泛构造中的积定义），对任意两个对象Y和Z，Z的Y次方指数定义为一个对象 $Z^{Y}$ ，和一个态射 $e: Z^{Y} \times Y \to Z$ ，它满足对任意箭头 $f: X \times Y \to Z$ ，存在唯一的箭头 $g: X \to Z^{Y}$ ，使得 $e \circ (g \times I)=f$ ，这里 $I: Y \to Y$ 是恒等箭头。可表达为下图交换：

若任意两个对象都有指数，则称范畴 $\mathcal{C}$ 拥有所有的指数。两个对象若存在指数，则在同构意义下指数是唯一的。

指数是数集中的指数函数在范畴论中的抽象。例子：Set中的两个集合对象Y和Z的指数为 $Z^{Y}=\left \{ f \,|\, y \in Y, f(y) \in Z \right \}$ ，它是从Y到Z的函数集合，也在Set中，因此Set和FinSet都拥有所有的指数。Top中的两个空间Y和Z若存在指数，则 $Z^{Y}$ 是Y到Z的所有连续映射集合（它可以构成一个拓扑空间），注意Top并非拥有所有的指数。

（15）笛卡尔闭范畴：对一个存在二元积的范畴 $\mathcal{C}$ ，若 $\mathcal{C}$ 有终对象1； $\mathcal{C}$ 有所有有限积，即包含有任意两个对象X,Y的积 $X \times Y$ （参考上述泛构造中的积定义），以及对应的两个投影箭头 $p_{1}: X \times Y \to X, \, p_{2}: X \times Y \to Y$ ； $\mathcal{C}$ 有所有指数对象，即包含任意两个对象Y和Z的指数对象 $Z^{Y}$ ，以及指数的箭头 $e: Z^{Y} \times Y \to Z$ ，它满足对任意箭头 $f: X \times Y \to Z$ ，存在唯一的箭头 $g: X \to Z^{Y}$ ，使得 $e \circ (g \times I)=f$ ，这里 $I: Y \to Y$ 是恒等箭头。则称 $\mathcal{C}$ 为笛卡尔闭范畴。

从定义可知，一个范畴是笛卡尔闭范畴，当且仅当它拥有所有的有限积和所有的指数。

笛卡尔闭性是指该范畴对笛卡尔积（×），态射（→）操作均是封闭的，它说明定义在乘积对象上的箭头 $f: X \times Y \to Z$ ，都可以自然地通过其某个因子对象上的箭头 $g: X \to Z^{Y}$ 来唯一地确定，用态射集来描述就是 $Hom(X \times Y, Z) \cong Hom(X, Z^{Y})$ 。此类范畴在数理逻辑和程序设计理论中尤为重要，它与含多参数函数、高阶函数的lambda演算形成的范畴等价。

例子：

Set是笛卡儿闭范畴。定义 $X \times Y$ 为X和Y的笛卡尔积 $X \times Y=\left \{ (x,y) \,|\, x \in X, y \in Y \right \}$ ，这也是一个集合，因此也是Set中的对象。 $Z^{Y}=\left \{ f \,|\, f(y) \in Z, y \in Y \right \}$ 为从Y到Z的函数集合，也在Set中。给定任意二元函数 $f: X \times Y \to Z$ ，则存在唯一的一元函数 $g: X \to Z^{Y}$ ，使得 $g(x)(y)=f(x,y)$ ，可见 f 由 g 自然地确定，函数 g 称为 f 的柯里化。将一个二元函数柯里化指的是，将它看成一个一元函数，这个函数返回另一个一元函数，柯里化在函数式编程语言中有广泛应用。

Grp不是笛卡尔闭范畴。
（16）群对象：设范畴 $\mathcal{C}$ 有二元积和一个终对象，G是 $\mathcal{C}$ 中的对象，箭头 $m: G \times G \to G$ ， $e: 1 \to G$ ， $i: G \to G$ 都是 $\mathcal{C}$ 中的箭头，并且满足条件：

首先， m 满足结合律，即下述范畴图G1可交换：

例如取 $((j,k),l) \in (G \times G) \times G$ ，从左上角往下、往右可得 $m(m(j,k),l)$ ，若从左上角往右、往下、最后往左可得 $m(j,m(k,l))$ ，要让 $m(m(j,k),l)=m(j,m(k,l))$ ，只要上述范畴图可交换。

其次，e 需要具备单位元的表现，即下述范畴图可交换（e! 表示 $e!=e \circ !$ ）：

从G到 $G \times G$ 的中介箭头将元素 $g \in G$ 映射成序偶 (g,e) 。

并且下述范畴图G2可交换，以确保 e 的左右可消去性：

最后，下述范畴图G3可交换，这可以表示群的元素的可逆，以及一个元素及其逆元素的二元运算结果为单位元（注意 $\delta_{X}=<1_{X},1_{X}>$ 是对角态射，它是X到 $X \times X$ 的唯一态射，即楔子 $X\overset{1_{X}}{\leftarrow}X\overset{1_{X}}{\rightarrow}X$ 唯一地经由 $\delta_{X}$ 因子通过积 $X \times X$ ）：

那么我们称 (G, m, e, i) 是范畴 $\mathcal{C}$ 的一个群对象，m为群的二元运算，e为单位元，i 为逆运算。

群对象表示在一个范畴上，通过其对象和及该对象上的一些态射，诱导一个群结构，我们可以通过这个群结构来研究原来范畴的性质

例子：

Set范畴的群对象就是群；Top的群对象是拓扑群；流形范畴Man的群对象是李群；Grp的群对象是阿贝尔群。

主要定理：

（1）积的性质：

如下自然同构成立（1为终对象）：

$Hom_{\mathcal{C}}(Y, \prod_{i \in I}X_{i}) \cong \prod_{i \in I}Hom_{\mathcal{C}}(Y,X_{i})$ ，左侧的积为范畴意义上的积、右侧的为集合的笛卡尔积；

$X \times Y \cong Y \times X$ ；

$X \times (Y \times Z) \cong (X \times Y) \times Z \cong X \times Y \times Z$ ；

$X \times 1 \cong 1 \times X \cong X$ 。

（2）余积的性质：

如下自然同构成立（0为始对象）：

$Hom_{\mathcal{C}}(\coprod_{j \in J}X_{j},Y) \cong \prod_{j \in J}Hom_{\mathcal{C}}(X_{j},Y)$ ，左侧为余积、右侧的为集合的笛卡尔积；

$X \oplus Y \cong Y \oplus X$ ；

$X \oplus (Y \oplus Z) \cong (X \oplus Y) \oplus Z \cong X \oplus Y \oplus Z$ ；

$X \oplus 0 \cong 0 \oplus X \cong X$ 。

（3）范畴完备性的判定：

范畴 $\mathcal{C}$ 有一个初始对象当且仅其范畴图中有一个极限；范畴 $\mathcal{C}$ 中有一个终对象当且仅其范畴图中有一个余极限；

范畴 $\mathcal{C}$ 是有限完备的 $\Leftrightarrow$ $\mathcal{C}$ 有终对象、所有的二元积和等化子 $\Leftrightarrow$ $\mathcal{C}$ 有终对象和对每一个余楔都有拉回；

范畴 $\mathcal{C}$ 是完备的 $\Leftrightarrow$ $\mathcal{C}$ 有所有的小极限 $\Leftrightarrow$ $\mathcal{C}$ 有所有的小积和等化子；

范畴 $\mathcal{C}$ 是有限余完备的 $\Leftrightarrow$ $\mathcal{C}$ 有始对象、所有的二元余积和余等化子 $\Leftrightarrow$ $\mathcal{C}$ 有始对象和对每一个楔子都有推出；

范畴 $\mathcal{C}$ 是余完备的 $\Leftrightarrow$ $\mathcal{C}$ 有所有的小余极限 $\Leftrightarrow$ $\mathcal{C}$ 有所有的小余积和余等化子。

（4）指数的性质：

如果 $B \cong C$ ，那么 $A^{B} \cong A^{C}$ ；

$(A^{B})^{C} \cong A^{B \times C}$ ；

$(A \times B)^{C} \cong A^{C} \times B^{C}$ 。

函子与自然变换

（1）函子：是范畴间保持结构的映射，可理解为范畴间的同态。一个从范畴 $\mathcal{C}$ 到范畴 $\mathcal{D}$ 的函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 由如下信息给出：

把对象映为对象： $X \in \mathcal{C} \Rightarrow F(X) \in \mathcal{D}$ ；

把态射映为态射： $f: X \to Y \in \mathcal{C} \Rightarrow F(f): F(X) \to F(Y) \in \mathcal{D}$ ；

保持态射的复合性： $f,g \in Hom(\mathcal{C}) \Rightarrow F(g \circ f)=F(g) \circ F(f)$ ；

保持单位态射（恒等态射）： $F(1_{X})=1_{F(X)}$ 。

因为态射是协变（共变）的，这样的函子也叫协变函子。可以用如下图来说明：

functor

反变函子：把协变函子定义中的第2条态射箭头反过来，即 $f: X \to Y \in \mathcal{C} \Rightarrow F(f): F(Y) \to F(X) \in \mathcal{D}$ ，则F称为反变函子。也可以将反变函子定义为在对偶范畴 $\mathcal{C}^{op}$ 上的协变函子。

（2）常见函子：

常数函子（Constant functor）：把 $\mathcal{C}$ 中的所有对象都对应到 $\mathcal{D}$ 中的一个固定的对象X，且把 $\mathcal{C}$ 中的态射都对应到 $\mathcal{D}$ 的恒等态射 $1_{X}$ ；

恒等函子（单位函子，Identity functor）：即 $1_{\mathcal{C}}: \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ ，把 $\mathcal{C}$ 中的对象和态射都对应到其自身；

自函子：将范畴 $\mathcal{C}$ 映射到自身范畴的函子，即 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ ；

对角函子：对角函子被定义为由 $\mathcal{D}$ 至函子范畴的函子，将每个在 $\mathcal{D}$ 内的对象映射至此对象的常数函子上；

极限函子：对一固定的指标范畴 $\mathcal{J} \to \mathcal{C}$ ，若每个函子都有极限（即若 $\mathcal{C}$ 为完全的），则极限函子 $\mathcal{C}^{\mathcal{J}} \to X$ 即为将每个函子映射至其极限的函子。此类函子的存在性可以由将其理解为对角函子的右伴随函子，且引入福端伴随函子定理来证明之。这需要一个适当版本选择公理。相似的说法也可应用在上极限函子（其为协变的）之中；

幂集函子：幂集合函子 $P : Set \to Set$ 将每个集合映射至其幂集合，且将每个函数映射至从 $U \subseteq X$ 到其值域 $f(U) \subseteq Y$ 的映射；

对偶向量空间函子：此函子将每个向量空间映射至其对偶空间，并将每个线性映射映射至其对偶映射。它是一个给定域的向量空间范畴 $Vec_{K}$ 映射至其自身的反变函子；

代数拓扑函子（基本群）：即函子 $\pi_{1}:Top_{\ast} \to Grp$ ，此函子将有区分点的拓扑空间映射至其基本群（一维同伦群）；

群作用/表示：每个群G都可以被认为带有单一个对象的范畴。一个由G至Set的函子 $F: G \to Set$ 只是G在一特定集合上的群作用，即一个G-集合。同样地，一个由G至向量空间范畴的函子 $F: G \to Vec_{K}$ 是G的线性表示。一般来说，一个函子 $G \to C$ 可以被认为是G在范畴C中的一个对象上的“作用”。

（3）具体特殊性质的函子：

遗忘函子：遗忘掉某些结构的函子，例如群范畴到集合范畴的函子 $F: Grp \to Set$ ，把群对应到去掉乘法运算后的集合，把群同态对应为映射，就是一个遗忘函子；

自由函子：遗忘函子的反向即为自由函子。自由函子 $F : Set \to Grp$ 将每个集合X映射至由X产生的自由群，函数则映射至自由群间的群同态。自由函子的建构可存在于许多基于集合结构的范畴中。遗忘函子的左伴随就是自由函子；

保守函子： $F(f)$ 为同构当且仅当 f 为同构的函子；

本质满函子（稠密函子）：对任意 $D \in \mathcal{D}$ 都存在 $C \in \mathcal{C}$ ，使得 $F(C)\cong D$ ，即值域中任意对象皆同构于某个F(X)的函子；

忠实函子：对任意对象X、Y， $Hom(X,Y) \to Hom(F(X),F(Y))$ 为单射的函子，即对任意两个平行态射 $f,g: X \to Y$ ，如果 F(f)=F(g)，那么 f=g。例如遗忘函子 $F: Grp \to Set$ 是忠实函子但不是完全函子；

完全函子（满函子）：对任意对象X、Y， $Hom(X,Y) \to Hom(F(X),F(Y))$ 为满射的函子，即对任意态射 $g: F(X) \to F(Y)$ ，都存在态射 $f: X \to Y$ 使得 $F(f)=g$ ；

完全忠实函子（嵌入函子）：既完全且忠实的函子称为完全忠实函子。例如自由函子 $F : Set \to Grp$ 是完全忠实函子；

正合函子：保持有限极限的函子。在Abel范畴中相当于保持正合序列；

加法函子：指预加法范畴（或加法范畴）中保持同态集（以及双积）的阿贝尔群结构的函子；

双函子：两个范畴的乘积到另一个范畴的函子，即 $F:\mathcal{B} \times \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 。

（4）积函子：若范畴 $\mathcal{C}$ 拥有所有的积，C是 $\mathcal{C}$ 中的对象，那么存在一个表示积的函子 $\times C: \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ ，使得 $(\times C)A=A \times C, \, (\times C)(A \to B)=A \times C \to B \times C$ ；

指数函子：若范畴 $\mathcal{C}$ 拥有所有的指数，B是 $\mathcal{C}$ 中的对象，那么存在一个表示指数的函子 $()^{B}: \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ ，使得 $()^{B}C=C^{B}, \, ()^{B}(C \to D)=\overline{f \circ ev}: C^{B} \to D^{B}$ ；

复合函子：如果存在函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}, \, G: \mathcal{D} \to \mathcal{E}$ ，那么存在复合函子 $G \circ F: \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ ，它把对象A映为 G(F(A))，把箭头 f 映为箭头 G(F(f))

（5）函子的保持与反射：设函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ ，P是箭头的某个特性，那么F保持P，当且仅当对每一个 $\mathcal{C}$ 中的箭头 f ， $Pf \Rightarrow PF(f)$ ；F反射P，当且仅当对每一个 $\mathcal{C}$ 中的箭头 f ， $PF(f) \Rightarrow Pf$

（6）自然变换：是将一个函子变为另一个函子，使相关范畴的内在结构（就是态射间的复合）得以保持，因此可以将自然变换视为函子间的映射。对两个平行函子 $F,G: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ ，一个从F到G 的自然变换 $\eta: F \to G$ ，表示对 $\mathcal{C}$ 中每个对象，给出一个在 $\mathcal{D}$ 的对象间的态射 $\eta_{X} : F(X) \to G(X)$ ，称为η在X处的分量，使得对 $\mathcal{C}$ 中每个态射 $f: X \to Y$ 都有 $\eta_{Y} \circ F(f)=G(f) \circ \eta_{X}$ ，该式可表达为交换图：

从F到G 的自然变换 η ，也可表达为态射族 $\eta_{X} : F(X) \to G(X)$ 在X中是自然的。自然变换也可记为 $\eta: F \Rightarrow G$ ，注意如果F和G都是反变函子，将上述交换图表中的水平箭号方向反转。

若对 $\mathcal{C}$ 中每个对象X，自然变换的分量即态射 $\eta_{X}$ 是 $\mathcal{D}$ 中的同构 $F(X)\cong G(X)$ ，则称 η 为自然同构，并称函子F和G是自然同构的，记作 $F \cong G$

自然变换本质上是指一系列来源不同的箭头（一个来源于F，另一个来源于G），每对箭头确保图可交换，即箭头间的复合仍然得以保持，这就是"自然性"的体现。

（7）范畴的范畴：如果 $\mathfrak{C}$ 包含的对象为范畴 $\mathcal{C},\mathcal{D},\mathcal{E},...$ ，箭头为上述范畴之间的函子 F, G, H, ...，箭头中包括每一个范畴的单位函子，以及对于每一个可复合的函子F和G的复合函子 $F \circ G$ 。那么我们就称 $\mathfrak{C}$ 为范畴的范畴；

正规范畴：一个范畴是正规的，当且仅当它不以自己为对象；

万有范畴（全体范畴）：如果每一个范畴都是 $\mathfrak{U}$ 的对象，那么范畴的范畴 $\mathfrak{U}$ 就是一个万有范畴；

Cat：是以小范畴为对象，以小范畴之间的函子为箭头的范畴；

Cat*：是以局部小范畴为对象，以它们之间的函子为箭头的范畴。

（8）逗号范畴：给定函子 $S: \mathcal{A} \to \mathcal{C}, \, T: \mathcal{B} \to \mathcal{C}$ ，那么逗号范畴 $S \downarrow T$ 的定义如下，对象是三元组 (A, f, B) ，其中A为 $\mathcal{A}$ 的对象，B为 $\mathcal{B}$ 的对象， $f: S(A) \to T(B)$ 是 $\mathcal{C}$ 的箭头；箭头是从 (A, f, B) 到 $(A^{'}, f^{'}, B^{'})$ 的一个对子 $(a, b) : (A,f,B) \to (A^{'},f^{'},B^{'})$ ，其中 $a: A \to A^{'}$ 为 $\mathcal{A}$ 的箭头， $b: B \to B^{'}$ 为B的箭头，并且下面范畴图可交换：

对象 (A, f, B) 的单位箭头是 $(1_{A},1_{B})$ ；

箭头的复合是 $(a^{'},b^{'}) \circ (a,b)=(a^{'} \circ_{\mathcal{A}} a, b^{'} \circ_{\mathcal{B}} b)$ 。

例子：

当 $\mathcal{A}=\mathcal{B}=\mathcal{C}$ 时，逗号范畴退化为箭头范畴；当 $\mathcal{A}=\mathcal{C}$ ，S为单位函子 $1_{\mathcal{C}}$ ， $\mathcal{B}=1$ 时，逗号范畴退化为切片范畴，可见箭头范畴和切片范畴都是逗号范畴的特例

（9）Hom函子（态射函子）：设 $\mathcal{C}$ 为局部小范畴，Set为集合范畴。对 $\mathcal{C}$ 中的一个固定对象A，选择另一个对象X，态射集合 Hom(A, X) 是Set范畴中的一个对象，当A固定而X变化时 Hom(A, X) 也会在Set中变动，因此构造了一个范畴之间的映射，它把 $\mathcal{C}$ 中的对象X映到Set中的对象Hom(A, X)；取 $\mathcal{C}$ 的一个态射 $f: X \to Y$ ，它必须要映到Set中的函数 $Hom(A,X) \to Hom(A,Y)$ ，这个函数怎么定义？取 $h \in Hom(A,X)$ ，显然 $f \circ h = g: A \to Y$ ，它正好把 $h \in Hom(A,X)$ 对应到了 $g \in Hom(A,Y)$ ，把这个函数记为 $Hom(A,f): h \to f \circ h$ ，它在h上的行为是 $Hom(A,f) h=f \circ h$ 。因此映射把 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f: X \to Y$ 映为Set中的函数 $Hom(A,f): h \to f \circ h$ ，这样的映射就称为关于A的Hom函子或态射函子，记作 $Hom(A,-): \mathcal{C} \to Set$ ，或者 $\mathcal{C}(A,-): \mathcal{C} \to Set$

反变Hom函子：对偶地定义函子 $\mathcal{C}(-,A): \mathcal{C}^{op} \to Set$ ，称为关于A的反变Hom函子，它把对象X指派为集合 Hom(X, A) ，把 $f: X \to Y$ 指派为反向的函数 $g: Hom(Y,A) \to Hom(X,A)$ ，即 $Hom(f,A): h \to h \circ f$ ；

双Hom函子： $\mathcal{C}(-,-): \mathcal{C}^{op} \times C \to Set$

（10）函子范畴：从 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的函子范畴，记为 $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ ，是以所有协变函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 为对象，以函子间的自然变换为箭头的范畴。函子范畴 $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ 中的同构就是自然变换 $\psi : F \Rightarrow G$

逆变函子范畴：为 $[\mathcal{C}^{op}, \mathcal{D}]$

（11）函子范畴的Hom函子：用Nat(F, G) 表示从F到G的自然变换的集合。用 $Nat(F,-)$ 指代协变Hom函子 $[\mathcal{C}, \mathcal{D}](F,-): [\mathcal{C}, \mathcal{D}] \to Set$ ，它把 $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ 中的任意函子X映为自然变换集合Nat(F, X) 。用 $Nat(-,G)$ 指代逆变Hom函子 $[\mathcal{C}, \mathcal{D}](-,G): [\mathcal{C}, \mathcal{D}] \to Set$ ，它把 $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ 中的任意函子X映为自然变换集合Nat(X, G)

（12）赋值函子：函子 $ev_{A}: [\mathcal{C},\mathcal{D}] \to \mathcal{D}$ 称为赋值函子，定义为将函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 映射到对象 F(A) 上，将自然变换 $\alpha: F \Rightarrow G$ 映射到箭头 $\alpha_{A}: F(A) \to G(A)$ 上，见下图：

对角函子：设 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ 为非空范畴，D是任意 $\mathcal{D}$ 对象，那么存在一个坍塌至D的常函子 $\Delta_{D}: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 将所有 $\mathcal{C}$ 对象都映射到D，将所有 $\mathcal{C}$ 箭头都映射到恒等箭头 $1_{D}$ 。定义函子 $\Delta_{\mathcal{J}}: \mathcal{C} \to [\mathcal{J}, \mathcal{C}]$ 为将一个对象C映射到常函子 $\Delta_{C}: \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ ，将箭头 $f: A \to B$ 映射到自然变换 $\alpha: \Delta_{A} \to \Delta_{B}$ ，自然变换的每个分量又都是 f ，这个函子称为对角函子

（13）极限函子：如果每个形状为 $\mathcal{J}$ 的范畴图D都在 $\mathcal{C}$ 中有一个极限，则极限函子 $\lim_{\leftarrow J}: [\mathcal{J}, \mathcal{C}] \to \mathcal{C}$ 定义为，将 $[\mathcal{J},\mathcal{C}]$ 的发送到对象D（在图上选取的一个极限锥 $[limD, \pi_{J}]$ ）的顶点 limD上；将 $[\mathcal{J},\mathcal{C}]$ 的箭头 $\alpha: D \Rightarrow D^{'}$ 发送到满足 "对所有 $J \in \mathcal{J}$ 有 $\pi_{J}^{'} \circ u_{\alpha}=\alpha_{J} \circ \pi_{J}$ " 的箭头 $u_{\alpha}: limD \to lim D^{'}$ 上。表述为下面的交换图：

函子的连续性：如果对所有小范畴 $\mathcal{J}$ ，范畴 $\mathcal{C}$ 拥有所有形如 $\mathcal{J}$ 的极限，那么对于函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 保持的每一个 $D: \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ 都有 $F(\lim_{\leftarrow J}D) \cong \lim_{\leftarrow J}(F \circ D)$ ，即函子F与极限 $\lim_{\leftarrow J}$ 可交换。称这样的函子F是连续的

（14）范畴等价：两个范畴 $\mathcal{C}$ 与 $\mathcal{D}$ 等价，记作 $\mathcal{C} \simeq \mathcal{D}$ ，是指存在两个函子 $F : C \to D, \, G: D \to C$ ，和两个自然同构 $\varepsilon: F \circ G \Rightarrow I_{D}, \, \eta: G \circ F \Rightarrow I_{C}$ 。这里 $I_{C}: C \to C, \, I_{D}: D \to D$ 为恒同函子。若F与G是反变函子则说范畴的对偶等价。

范畴等价是比同构意义更弱的一种关系。它并不要求函子与它的逆的复合必须是恒等映射（即源和目标必须相等），只要求复合函子的源和目标对象或箭头是自然同构的。若要求是恒等映射，则称为范畴的同构，但这个概念用的较少。

（15）范畴的骨架：如果 $\mathcal{D}$ 是 $\mathcal{C}$ 的一个满子范畴，且只包含 $\mathcal{C}$ 中每个同构对象类中的一个对象，则称范畴 $\mathcal{D}$ 是范畴 $\mathcal{C}$ 的骨架。范畴的骨架与原范畴必然是等价的；

邪灵（evil）：在等价关系下不能保持不变的范畴，称为邪灵。例如骨架范畴是邪灵，因为与骨架范畴等价的范畴不一定是骨架范畴。小范畴也是邪灵

（16）预层：范畴 $\mathcal{C}$ 上的 $\mathcal{V}$ 值预层定义为 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{V}$ 的一个反变函子，即对偶范畴 $\mathcal{C}^{op}$ 到 $\mathcal{V}$ 的一个协变函子 $F: \mathcal{C}^{op} \to \mathcal{V}$ 。通常 $\mathcal{V}$ 取Set范畴，这时预层 $F: \mathcal{C}^{op} \to Set$ 称为Set值预层。若是拓扑空间中所有开集通过包含关系构成的偏序集（作为范畴理解），那么我们就回到了拓扑空间上的预层概念。称预层是可表的，当它自然同构于某个反变Hom函子 $\mathcal{C}(-,A)$ ，其中A是 $\mathcal{C}$ 中的某个对象。

预层范畴：范畴 $\mathcal{C}$ 上的预层 $F: \mathcal{C}^{op} \to \mathcal{V}$ （作为对象）加上它们之间的自然变换（作为箭头），构成了 $\mathcal{C}$ 上的预层范畴 $[\mathcal{C}^{op}, \mathcal{V}]$ ，也记作 $\widehat{\mathcal{C}}$

（17）可表函子：如果函子 $F: \mathcal{C} \to Set$ 自然同构于Hom函子 $\mathcal{C}(A,-): \mathcal{C} \to Set$ ，则称函子F是可表函子，对象A和这个自然同构 $\Phi: \mathcal{C}(A,-) \Rightarrow F$ 一起组成的对子 $(A, \Phi)$ 称为F的表示。同样地，与反变Hom函子 $\mathcal{C}(-,A): \mathcal{C}^{op} \to Set$ 自然同构的反变函子 $F: \mathcal{C}^{op} \to Set$ 也称为是可表示的。

注意，一个函子的表示在同构意义下是唯一的。可表函子是指从任意范畴到集合范畴的一种特殊函子，这将抽象的范畴表达成人们熟知的结构（即集合与函数），从而使得对集合范畴的了解可以尽可能应用到其它环境中。另外可表函子理论也可以视作偏序集理论中的上闭集合以及群论中的凯莱定理的极大推广。

例子：

Hom函子本身是可表的；

遗忘函子 $F: Mon \to Set$ 是可表的，可以被一个生成子上的自由幺半群表示；

遗忘函子 $F: Grp \to Set$ 是可表的，可以被整数加法群Z表示，因为对任意一个群G，群同态 $(f: Z \to G) \in Grp(Z,G)$ 完全由 f(1) 的值确定，因此 $f: Z \to G$ 与 F(G) 的元素一一对应，即 $Hom_{Grp}(Z,G)$ 与 F(G) 是同构，由Yoned引理 (Z, 1) 是F的一个表示；

遗忘函子 $F: Ab \to Set$ 是可表的，可以被整数加法群Z表示；

遗忘函子 $F: Vec \to Set$ 是可表的，可以被视为向量空间的实数R所表示；

遗忘函子 $F: Top \to Set$ 是可表的，可以被单点拓扑空间 $S_{0}$ 表示；

遗忘函子 $F: FinGrp \to Set$ 是不可表的；

幂集函子 $P: Set \to Set$ 是不可表的，但反变幂集函子 $P^{*}: Set^{op} \to Set$ 可以被集合 $2=\left \{ 0,1 \right \}$ 表示。因为对任意 $Set^{op}$ 中的幂集对象X，对应Set中一个集合Y 使得元素个数为 $\left | X \right |=2^{\left | Y \right |}$ ，因此X中的元素与Y到2点集 $2=\left \{ 0,1 \right \}$ 的所有映射一一对应，即 $P^{*}(X) \cong Hom_{Set}(Y, 2)$ ，从而函子 $P^{*}$ 与反变Hom函子 $Hom_{Set}(-,2)$ 自然同构， $2=\left \{ 0,1 \right \}$ 是 $P^{*}$ 的一个表示。

（18）普遍元素： $F: \mathcal{C} \to Set$ 中普遍元素是对子 (A, a) ，其中 $A \in ob(\mathcal{C}), a \in FA$ ，并且对每一个 $Z \in ob(\mathcal{C}), z \in FZ$ ，存在唯一的箭头 $F:A \to Z$ ，使得 Fg(a)=z

（19）射影对象：设E是范畴 $\mathcal{C}$ 的一簇满态射，满足E中的任何态射与同构态射的复合仍然属于E，对任意给定的态射 $f: P \to B$ ，如果对E中的任意满态射 $e: A \to B$ ， f 能唯一地分解为 $f=eg$ ，即存在唯一的 $g: P \to A$ ，使得下图交换：

则称P为 $\mathcal{C}$ 中的一个E射影对象。若E包含所有的满态射，则称P为 $\mathcal{C}$ 中的一个射影对象。

内射对象（单射对象）：对偶地，设M是范畴 $\mathcal{C}$ 的一簇单态射，满足M中的任何态射与同构态射的复合仍然属于M，对任意给定的态射 $f: A \to I$ ，如果对M中的任意单态射 $m: A \to B$ ， f 能唯一地分解为 $f=gm$ ，即存在唯一的 $g: B \to I$ ，使得下图交换：

则称I为 $\mathcal{C}$ 中的一个M内射对象。若M包含所有的单态射，则称I为 $\mathcal{C}$ 中的一个内射对象。

例子：

Set中任意一个集合都是射影对象，任意一个非空集合都是内射对象；Top中的射影对象就是离散拓扑空间；Grp中整数加法群Z是射影对象。紧致Hausdorff空间范畴Hcomp的内射对象就是单位闭区间的任何幂 $[0,1]^{I}$

主要定理：

（1）函子的性质：

$F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 是完全忠实函子的充要条件是 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 是范畴的等价，其中 $F(\mathcal{C})$ 表示 $\mathcal{D}$ 中由F的像生成的满子范畴；

函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 的像不一定是 $\mathcal{D}$ 的子范畴；函子不一定保持或反射单态或满态；函子保持右逆，左逆和同构，但不一定反射它们；

忠实函子反射单态和满态；完全忠实函子反射右逆和左逆，因而是保守的；

（2）两个逆变（contravariant）函子的复合，如果有定义的话，将得出一个协变（covariant）函子。完全函子的复合是完全的；忠实函子的复合是忠实的

（3）罗素悖论（范畴论版本）：不存在涵盖所有正规范畴的范畴

（4）万有范畴的不存在性：不存在万有范畴

（5）极限的保持和反射：

如果函子F保持积，那么 $F(A \times B) \cong F(A) \times F(B)$ ；

如果 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 保持 $\mathcal{J}$ 型图 $D: \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ 上的一个极限，那么它也保持那个图上所有的极限。例子：遗忘函子 $F: Mon \to Set$ 保持空形状的极限，保持终对象、二元积和等化子，所以它保持所有的有限极限（但不保持所有的余极限）；

如果 $\mathcal{C}$ 是有限完备范畴，则函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 保持所有的有限极限 $\Leftrightarrow$ F保持终对象、所有二元积和等化子 $\Leftrightarrow$ F保持终对象和所有拉回；

如果 $\mathcal{C}$ 是完备范畴，则函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 保持所有极限 $\Leftrightarrow$ F保持所有积和等化子；

Hom函子总是保持极限；可表函子总是保持极限；

保持拉回的函子也保持单态；保持推出的函子也保持满态；

如果函子F是完全忠实的，那么F反射极限；

如果范畴 $\mathcal{C}$ 是完备的，函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 保持极限且反射同构，那么F反射小极限；

遗忘函子 $F: Mon \to Set$ 反射所有极限；遗忘函子 $F: Top \to Set$ 保持所有极限，但并不反射所有极限；

若有函子 $G: \mathcal{B} \to \mathcal{A}$ ，对象 $A \in \mathcal{A}$ ， $\mathcal{B}$ 有一个形状为 $\mathcal{J}$ 的极限，且G保持这个极限，那么 $A \downarrow G$ 也保持这个极限。

（6）Hom函子的性质：

如果积存在，则有 $\mathcal{C}(A,C \times D) \cong \mathcal{C}(A, C) \times \mathcal{C}(A,D)$ ，可推广到有限积的情形；

如果 $\mathcal{C}$ 是一个小范畴，那么协变hom-函子 $\mathcal{C}(A, -)$ 保持所有 $\mathcal{C}$ 中存在的小极限；

如果 $\mathcal{C}$ 是一个小范畴，那么反变hom-函子 $\mathcal{C}(-, A)$ 将形状是 $\mathcal{J}$ （对应小范畴 $\mathcal{J}$ ）的余极限（colimit）映射到形状为 $\mathcal{J}$ 的极限上

（7）范畴等价的判定方法：两个范畴 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ 等价，当且仅当存在一个完全忠实且本质满的函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$

证明思路：借助范畴骨架的证明，证明它们的骨架同构

（8）范畴等价的性质：范畴等价不保持小性质，但保持局部小性质。即与小范畴等价的范畴不一定是小的，但与局部小范畴等价的范畴一定是局部小的

（9）范畴骨架的性质：任何范畴都有骨架。范畴和它的任何骨架都等价。范畴的任意两个骨架同构。两个范畴等价当且仅当它们的骨架同构。实质上这些都是选择公理的等价表述，因为涉及到从同构对象类中选出对象。

如果 $\mathcal{C}$ 是 $\mathcal{D}$ 的子范畴， $\mathcal{C}$ 中的任意同构 f 都有 dom(f)=cod(f) ，并且有完全忠实且本质满的函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ ，那么 $\mathcal{C}$ 是 $\mathcal{D}$ 的骨架。

（10）Yoneda嵌入：对任何局部小范畴 $\mathcal{C}$ ，都存在一个函子 $\mathcal{Y}: \mathcal{C} \to [\mathcal{C}^{op}, Set]$ ，它把对象A映为其反变hom函子 $\mathcal{Y}(A)=\mathcal{C}(-,A)$ ，把箭头 $f: A \to B$ 映为其反变home函子 $\mathcal{Y}(f)=\mathcal{C}(-,f)$ 。它的对偶函子为 $\mathcal{X}: \mathcal{C}^{op} \to [\mathcal{C}, Set]$ ，即把对象A映为其协变hom函子 $\mathcal{X}(A)=\mathcal{C}(A,-)$ ，把箭头 $f: B \to A$ 映为其协变home函子 $\mathcal{X}(f)=\mathcal{C}(f,-)$ 。这两个函子都是完全忠实函子（嵌入函子），且在对象上是内射的。嵌入函子 $\mathcal{Y}: \mathcal{C} \to [\mathcal{C}^{op}, Set]$ 称为米田嵌入，其对偶函子 $\mathcal{X}: \mathcal{C}^{op} \to [\mathcal{C}, Set]$ 被戏称为Yoda嵌入（龙达嵌入）。

性质：对局部小范畴里的任何对象A, B，有 $A\simeq B \Leftrightarrow \mathcal{Y}A \Leftrightarrow \mathcal{Y}B, \, A\simeq B \Leftrightarrow \mathcal{X}A \Leftrightarrow \mathcal{X}B$

（11）若 $\mathcal{C}$ 是局部小范畴， $F: \mathcal{C} \to Set$ 是函子， $\mathcal{X}: \mathcal{C}^{op} \to [\mathcal{C}, Set]$ 是龙达嵌入，那么函子 $N=Nat(-,F) \circ \mathcal{X}$ 与F是自然同构的，Hom函子 $Nat(\mathcal{C}(A,-),-)$ 与赋值函子 $ev_{A}: [\mathcal{C},\mathcal{D}] \to \mathcal{D}$ 也是自然同构的

（12）Yoneda引理：对任何局部小范畴 $\mathcal{C}$ ， $\mathcal{C}$ 的对象A，以及函子 $F: \mathcal{C} \to Set$ ，都有 $Nat(\mathcal{C}(A,-),F) \cong F(A)$ ，即存在一个 $Nat(\mathcal{C}(A,-),F)$ 到 F(A) 上的双射。

受限的米田引理：设 $\mathcal{C}$ 是局部小范畴，A, B是 $\mathcal{C}$ 的对象，那么 $Nat(\mathcal{C}(A,-),\mathcal{C}(B,-)) \cong \mathcal{C}(B,A)$ ，对偶地有 $Nat(\mathcal{C}(-,A),\mathcal{C}(-,B)) \cong \mathcal{C}(A,B)$ 。

用预层来表述米田引理： $\widehat{\mathcal{C}}(\mathcal{Y}A,F)\cong FA$

米田引理是说所有的指向Set的函子都能通过自然变换从Hom函子获取，而米田引理精确地列举了所有这样的变换。它说明范畴中的对象X由它所表示的函子 Hom(A,-) 或 Hom(-,A) 唯一地确定（在同构意义下），这是可表函子理论的根基所在。例如在代数几何中，一个常见的技术是将概形等同于它所代表的函子，后者往往具有直观的几何诠释，技术上亦较容易处理；另一方面，我们也往往从函子的观点研究空间的商、极限或者是模空间问题，第一步是定义适当的“函子解”，其次再研究它可表与否。代数拓扑中的分类空间也是可表函子概念的体现。米田引理可以看作是群论中的凯莱定理的一个推广。

证明思路：

定义映射 $\Theta: Nat(\mathcal{C}(A,-), F) \to F(A)$ 为对每个自然变换 $\alpha: \mathcal{C}(A,-) \to F$ ，有 $\Theta(\alpha)=\alpha_{A}(1_{A}) \in F(A)$ 。这个好理解，自然变换的分量 $\alpha_{A}: \mathcal{C}(A,A) \to F(A)$ 是Set中的函数， $\alpha_{A}(1_{A})$ 就是把 $\mathcal{C}$ 中的恒等箭头 $1_{A} \in \mathcal{C}(A,A)$ 映为 F(A) 中的一个元素；

定义映射 $\Phi: F(A) \to Nat(\mathcal{C}(A,-), F)$ 为对每个 $x \in F(A)$ ，有 $\Phi(x): \mathcal{C}(A,-) \to F$ ，且满足 $\Phi(x)_{B}(f)=F(f)(x) \in F(B)$ 。这里表示分量 $\Phi(x)_{B}=\mathcal{C}(A,B) \to F(B)$ 把 $\mathcal{C}$ 中的箭头 $f \in \mathcal{C}(A,B)$ 映为 F(B) 中的元素；

证明 $\Theta , \Phi$ 是互逆的，也即 $\Theta \Phi =1_{F(A)}, \, \Phi \Theta =1_{Nat(\mathcal{C}(A,-),F)}$ ，这样 $\Theta$ 就是所求的双射

（13）可表函子的性质：

如果平行函子 $F,G: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 自然地同构，那么如果F保持一个极限，G也保持这个极限；

协变可表函子 $F: \mathcal{C} \to Set$ 保持 $\mathcal{C}$ 中存在的所有（小）极限，逆变可表函保持余极限；

函子 $F: \mathcal{C} \to Set$ 可以被A表示，当且仅当存在一个普遍元素 (A, a) ；

如果函子 $F: \mathcal{C} \to Set$ 有表示 $(A, \alpha)$ ，那么F有普遍元素 $(A, \alpha_{A}(1_{A}))$

（14）射影对象的性质：初始对象一定是射影对象，终对象一定是内射对象。射影对象的收缩仍然是射影对象，内射对象的收缩仍然是内射对象。注意对象R是对象P的收缩，表示存在态射 $i:R \to P, \, j: P \to R$ 使得 $ri=1_{R}$ 。

函子的伴随性和单子性

（1）偏序集之间的函数：设 $\mathcal{C}=(C, \leqslant), \, \mathcal{D}=(D,\sqsubseteq)$ 是两个偏序集，映射 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 是集合C和D之间的函数，如果 $(\forall x,y \in C)(x\leq y \Rightarrow Fx \sqsubseteq Fy)$ ，则称F是单调的；如果 $(\forall x,y \in C)(x\leq y \Leftrightarrow Fx \sqsubseteq Fy)$ ，则称F是序嵌入的；如果F是一个满射的序嵌入，则称F是序同构

（2）Galois连接（Galois联络）：设 $\mathcal{C}=(C, \leqslant), \, \mathcal{D}=(D,\sqsubseteq)$ 是两个偏序集，映射 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}, \, G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ 是集合C和D间的一对函数，如果 $(\forall c \in C)(\forall d \in D)(Fc \sqsubseteq d \Leftrightarrow c \leq Gd)$ ，则F和G构成一个 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ 之间的伽罗瓦连接，记作 $F\dashv G$ 。

伽罗瓦连接是一种特殊的伴随函子，即两个作为范畴的偏序集合之间的伴随关系。

例子：

取 $\mathcal{N}=(N,\leq), \, \mathcal{Q^{+}}=(Q^{+},\leq)$ ，设 $I: \mathcal{N} \to \mathcal{Q^{+}}$ 是从自然数到相应有理数的单射函数， $F: \mathcal{Q^{+}} \to \mathcal{N}$ 是取底函数，那么 $I\dashv F$ 是一个伽罗瓦连接。设C为取顶函数，那么 $C \dashv I$ 是一个反向伽罗瓦连接

（3）伴随函子：设 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}, \, G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ 是两个函子，如果对任意一对对象 $A \in \mathcal{C}, B \in \mathcal{D}$ ， $\mathcal{D}$ 中箭头 $FA \to B$ 的集合与 $\mathcal{C}$ 中箭头 $A \to GB$ 的集合是一一对应的，即它们是自然的一个同构 $\mathcal{D}(FA,B) \cong \mathcal{C}(A,GB)$ ，则F和G称为一对伴随函子，记作 $F\dashv G$ 。称F是G的左伴随，G是F的右伴随。

注意上述条件有时也写成 $\mathcal{D}(F(-),-)=\mathcal{C}(-,G(-))$ ，与箭头 $f:FA \to B$ 相伴随的箭头写作 $\bar{f}: A \to GB$ ，它称为 f 的转置。

性质：伴随具有唯一性，即一个函子的任意两个左伴随都是自然同构的；伴随可复合，即 $F\dashv G, H \dashv K$ ，则有 $HF \dashv GK$

例子：

自由函子 $F: Set \to Grp$ 是遗忘函子 $F: Grp \to Set$ 的左伴随，同态 $FA \to B$ 由态射 $A \to GB$ 唯一确定。对自由环、自由R-模，也有同样的结论；

遗忘函子 $F: Top \to Set$ 既有左伴随，也有右伴随。左伴随D是集合A加上其离散拓扑，因为所有函数 $DA \to X$ 是连续的；右伴随是集合A加上一个密着拓扑

（4）伴随的单位/余单位：对于伴随 $F\dashv G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ ，自然变换 $\eta: 1_{\mathcal{C}} \to GF$ 称为该伴随的单位，对偶地， $\varepsilon: FG \to 1_{\mathcal{D}}$ 称为该伴随的余单位。一对函子的伴随性完全由单位和余单位确定，因此经常将伴随 $F\dashv G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ 表示为 $(F,G,\eta,\varepsilon): \mathcal{C} \to \mathcal{D}$

（5）反射：对于伴随 $F\dashv G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ ，当G全然忠实时，伴随被称为一个反射；

反射子范畴：对 $\mathcal{C}$ 的一个满子范畴 $\mathcal{D}$ ，若包含函子 $I: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ 有一个左伴随F，则称 $\mathcal{D}$ 是 $\mathcal{C}$ 的反射子范畴，F称为反射函子；

余反射子范畴：对偶地，若包含函子 $I: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ 有一个右伴随G，则称 $\mathcal{D}$ 是 $\mathcal{C}$ 的余反射子范畴，G称为余反射函子。

例子：

AbGrp是Grp的反射子范畴，包含函子的左伴随将每个群G对应为G的Abel化 $G/G^{'}$ ，即G的最大Abel商群；

紧致Hausdorff空间范畴Hcomp是Tychonoff空间的反射子范畴，包含函子的左伴随将每个Hausdorff空间对应为它Stone-Cech紧致化；

扭群范畴Tor是AbGrp的余反射子范畴

（6）弱初始集：范畴 $\mathcal{C}$ 中的一个组对象 $\left \{ A_{i} \,|\, i \in I \right \}$ 称为弱初始集，如果对任意 $\mathcal{C}$ 对象B，都存在一个 $\mathcal{C}$ 中的箭头 $h_{i}: A_{i} \to B$ ，其中 $i \in I$

（7）单子（monad）：范畴 $\mathcal{C}$ 上的一个单子，定义为一个自函子 $T: \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ ，一个称为单位元的自然变换 $\eta: 1_{\mathcal{C}} \Rightarrow T$ （即 $\eta_{X}: X \to TX$ ），和一个称为乘法运算的自然变换 $\mu: T^{2} \Rightarrow T$ （即 $\mu_{X}: T^{2}X \to TX$ ），其中单位元满足单位律，即以下图表交换：

乘法满足结合律，即以下图表交换：

单子记作 $(T, \eta, \mu)$ ，它是自函子范畴（以所有自函子为对象，自函子之间的自然变换为态射）上的幺半群结构，和普通的幺半群M相比，它用自函子的复合 $T^{2}$ 代替了M的笛卡尔积 $M \times M$ ，用单位变换 $\eta: 1_{\mathcal{C}} \Rightarrow T$ 代替了M的单位元 $\eta: 1 \to M$ ，用自然变换 $\mu: T^{2} \Rightarrow T$ 代替了M的二元运算 $\mu: M \times M \to M$ 。"单子"表示它是一种单一的、自相似的结构，复合的层层嵌套 $T^{2}$ 总是返回一个单层的自函子，不会出现不自相似的嵌套情况。单子本身有"不可分的最小单位"的意思（类似于原子的概念）。在函数式编程中，单子的概念应用广泛。

余单子：自函子 $L: \mathcal{D} \to \mathcal{D}$ ，加上满足单子公理的对偶公理 $1_{\mathcal{D}}\Leftarrow L \Rightarrow L^{2}$ ，就构成了一个余单子。

例子：

恒等函子是一个单子；

Set范畴上的单子：设函子 $()^{*}: Set \to Set$ ，定义为 $(A)^{*}=A^{*}=\left \{ lists(a_{1},...,a_{n}) \,|\, a_{i} \in A, n\geq 0 \right \}$ ，单位元为 $\eta_{A}: A \to TA=A^{*} , \eta(a)=a$ ，乘法为 $\mu_{A}: A^{**} \to A, \, \mu_{A}((a_{11},...,a_{1n_{1}}), ..., (a_{k1},...,a_{kn_{k}}))=(a_{11},...,a_{1n_{1}}, ..., a_{k1},...,a_{kn_{k}})$ ，那么 $(()^{*}, \eta, \mu)$ 构成一个范畴Set上的单子，即自由幺半群单子；

在函数式编程语言中，单子（monad，也译单体）是一种抽象数据类型，其特别之处在于，它是用来表示计算而不是数据的。在以函数式风格编写的程序中，单子可以用来组织包含有序操作的过程，或者用来定义任意的控制流（比如处理并发、异常、延续）。单子的构造包括定义两个操作bind和return，还有一个必须满足若干性质的类型构造器M。

（8）T代数：设 $(T, \eta, \mu)$ 为范畴 $\mathcal{C}$ 上的一个单子，该单子T的一个代数包括 $\mathcal{C}$ 的对象A，和 $\mathcal{C}$ 的箭头 $\theta: TA \to A$ ，使得下面图表交换：

则称序对 $(A, \theta)$ 是一个T代数。T代数 $(A, \theta), (B, \varphi)$ 之间的态射为 $f: (A, \theta) \to (B, \varphi)$ ，是指 $\mathcal{C}$ 中的箭头 $A \overset{f}{\rightarrow}B$ ，满足下面的图表交换：

T代数的态射可以进行复合并满足结合律，因此全体T代数构成一个范畴，称为Eilenberg-Moore范畴，记作 $\mathcal{C}^{T}$

例子：

对单子 $T=()^{*}: Set \to Set$ ，T代数就是一个幺半群，因为一个代数是一个集合A加上函数 $A^{*} \overset{\theta}{\rightarrow}A$ ，使得 $(a_{1},...,a_{n}) \to a_{1}a_{2}...a_{n}$ ，以及 $() \to e$

（9）自由代数：存在T代数的遗忘函子 $U: \mathcal{C}^{T} \to \mathcal{C}$ ，其中 $U(f: (A, \theta) \to (B, \varphi))=f: A \to B$ ，则该遗忘函子U有一个左伴随 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{T}$ ，它满足：

由于函子F必然是自由函子，因此函子F也称为自由代数。

（10）Eilenberg-Moore比较函子：对于伴随 $F \dashv G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ ，存在唯一的函子 $K: \mathcal{D} \to \mathcal{C}^{T}$ 满足条件 $U^{T}K=G, \, KF=F^{T}$ ，即下面图表交换：

图中 $U^{T}: \mathcal{C}^{T} \to \mathcal{C}$ 是T代数的遗忘函子， $F^{T}: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{T}$ 是它的左伴随，即自由代数函子。这个唯一的函子K称为伴随 $F \dashv G$ 与伴随 $F^{T} \dashv G^{T}$ 的比较函子

（11）函子的单子性：如果伴随 $F \dashv G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ 的Eilenberg-Moore比较函子 $K: \mathcal{D} \to \mathcal{C}^{T}$ 是范畴的一个等价，则称该伴随是单子的，即具有单子性；

函子的单子性：函子G如果有一个左伴随F，使得 $F \dashv G$ 是单子的，则称G是单子的，即具有单子性；

范畴的单子性：如果 $U: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ 是遗忘函子并且是单子的，则称范畴 $\mathcal{D}$ 在范畴 $\mathcal{C}$ 上是单子的。

例子：

Grp、Vec、Top、CpctHaus在Set上都有单子性，Poset在Set上没有单子性

（12）绝对余等化子：对任意函子都能保持的余等化子。在范畴 $\mathcal{C}$ 中，图表 $A \overset{f,\,g}{\rightrightarrows} B \overset{c}{\rightarrow} C$ 满足 cf=cg 。如果对任意函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ ，态射 $F(c): F(B) \to F(C)$ 都是平行态射 $F(f), F(g): F(A) \to F(B)$ 的余等化子，则称 $c: B \to C$ 是平行态射 f, g 的绝对余等化子。

分裂余等化子：设图表 $A \overset{f,\,g}{\rightrightarrows} B \overset{c}{\rightarrow} C$ 满足 cf=cg ，如果存在态射 $s: C \to B, t: B \to A$ 满足 $cs=1_{C}, \, ft=1_{B}, \, gt=sc$ ，则称 $c: B \to C$ 是平行态射 f, g 的分裂余等化子。分裂余等化子心然是绝对余等化子，因此也是余等化子

主要定理：

（1）伽罗瓦连接的性质：

等价条件：设 $\mathcal{C}=(C, \leqslant), \, \mathcal{D}=(D,\sqsubseteq)$ 是两个偏序集，映射 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}, \, G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ 是集合C和D之间的一对函数，那么 $F\dashv G$ 当且仅当 F和G是单调的， $(\forall c \in C)(\forall d \in D)(c\leq GFc \wedge FGd \sqsubseteq d)$ ，并且 FGF=G, GFG=G。有时也把这个作为伽罗瓦连接的定义；

传递性：如果偏序集 $\mathcal{C}=(C, \leqslant), \, \mathcal{D}=(D,\sqsubseteq)$ 之间存在伽罗瓦连接 $F\dashv G$ ，偏序集 $\mathcal{D}=(D,\sqsubseteq), \, \mathcal{E}=(E, \subseteq)$ 之间存在伽罗瓦连接 $H\dashv K$ ，则 $\mathcal{C}, \mathcal{E}$ 之间存在伽罗瓦连接 $HF \dashv GK$ ；

唯一性：若有伽罗瓦连接 $F \dashv G, F \dashv G^{'}$ ，则 $G=G^{'}$ 。同样地，若有伽罗瓦连接 $F \dashv G, F^{'} \dashv G$ ，则 $F=F^{'}$ ；

非对称性：伽罗瓦连接并不一定是对称的。如果 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ 之间存在伽罗瓦连接 $F\dashv G$ ，这并不意味着 $F\dashv G$ 是 $\mathcal{D}, \mathcal{C}$ 之间的伽罗瓦连接

（2）右伴随保持极限，左伴随保持余极限：对任意伴随 $F \dashv G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ ，G保持所有出现在 $\mathcal{D}$ 中的极限，F保持所有出现在 $\mathcal{C}$ 中的余极限

（3）伴随函子定理：

原始伴随函子定理：如果范畴 $\mathcal{D}$ 是有限完备的（即拥有所有有限极限），那么函子 $G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ 有一个左伴随当且仅当G保持所有的有限极限；

特殊伴随函子定理：如果范畴 $\mathcal{D}$ 是完备的、良幂的范畴并且存在一个余分离集，那么函子 $G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ 有一个左伴随当且仅当G保持小极限；

广义伴随函子定理：如果范畴 $\mathcal{D}$ 是完备的（即拥有所有小极限），那么函子 $G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ 有一个左伴随，当且仅当G保持所有的小极限，并且对于每一个 $\mathcal{C}$ 的对象A，逗号范畴 $A \downarrow G$ 都有一个弱初始集。

（4）Beck定理：给定伴随函子 $F \dashv G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ ，那么函子G是单子的（即比较函子为 $K: \mathcal{D} \to \mathcal{C}^{T}$ 是一个范畴等价），等价于 $\mathcal{D}$ 中平行态射 $f,g: A \to B$ 的像 $G(f),G(g): G(A) \to G(B)$ 在 $\mathcal{C}$ 中有绝对余等化子；也等价于 $\mathcal{D}$ 中平行态射 $f,g: A \to B$ 的像 $G(f),G(g): G(A) \to G(B)$ 在 $\mathcal{C}$ 中有分裂余等化子。

Beck定理给出了一个函子具有单子性的判定准则

加法范畴与Abel范畴

（1）零态射：设范畴 $\mathcal{C}$ 有零对象Z（既是始对象又是终对象的对象），则 Hom(A, Z) 和 Hom(Z, B) 分别有唯一的态射 $0_{AZ}: A \to Z$ 和 $0_{ZB}: Z \to B$ ，其合成 $0_{ZB}0_{AZ}: A \to B$ 不随Z的选择而改变，记此合成为 $0_{AB}$ ，称为 Hom(A，B) 中的零态射，对取定的A, B，它是惟一的，有时也简记为0

（2）核与余核：设范畴 $\mathcal{C}$ 有零对象，对任意态射 $f:A \to B$ ，把态射对 (f, 0) 的等化子称为 f 的核，记作 ker(f)。把 (f, 0) 的余等化子称为 f 的余核，记作coker(f)

（3）预加法范畴：如果范畴 $\mathcal{C}$ 有零对象，对任意两个对象 $A,B \in ob(\mathcal{C})$ ，若态射集合 $Hom_{\mathcal{C}}(A,B)$ 是Abel加法群，其中 $0_{AB}$ 是该群的零元；态射的复合满足双边分配律，即对任意 $f,f^{'} \in Hom(A,B), \, g,g^{'} \in Hom(B,C)$ 有

$f(g+g^{'})=fg+fg^{'}, \, (f+f^{'})g=fg+f^{'}g$ ，则称 $\mathcal{C}$ 为预加法范畴。

在预加法范畴中，任何初始对象也是终对象，任何两个对象A, B的积也等于它们的余积，把这样的积（即积与余积相等）称为双积，统一记为 $A\oplus B$ ，也称为直和

（4）加法范畴：如果预加法范畴 $\mathcal{C}$ 中任意有限个对象都存在有限积，则 $\mathcal{C}$ 称为加法范畴

例子：AbGrp是加法范畴，两个Abel群的双积就是它们的直和；模范畴 $M_{R}$ 也是预加法范畴

（5）加法函子：设 $\mathcal{C}$ 是预加法范畴，若函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 满足 $F(f+g)=F(f)+F(g)$ ，则称F为加法函子。

性质：加法函子保持直和

（6）态射的矩阵表示：对加法范畴 $\mathcal{C}$ 中任意有限积之间的态射 $f: \bigoplus_{i=1}^{n}A_{i} \to \bigoplus_{j=1}^{m}B_{j}$ ，可以唯一地表示为 $m \times n$ 矩阵形式：

$\begin{bmatrix} f_{11} & f_{12} & ... & f_{1n}\\ f_{21} & f_{22} & ... & f_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ f_{m1} & f_{m2} & ... & f_{mn} \end{bmatrix}$

其中 $f_{ij}=p_{j} \circ f \circ q_{i}: A_{i} \to B_{j}$ ，这里 $p_{j}: \bigoplus_{t=1}^{m}B_{t} \to B_{j},\, (j=1,...,m)$ 是投影， $q_{i}: A_{i} \to \bigoplus_{s=1}^{n}A_{s}, \, (i=1,...,n)$ 是余投影。这样积之间的态射的加法和复合就是矩阵的加法和乘法运算

（7）Abel范畴：如果加法范畴 $\mathcal{A}$ 中任意态射 f 都有核和余核，并且 $\theta: ker(coker(f)) \to coker(ker(f))$ 是同构，则称该加法范畴为Abel范畴。Abel范畴是同调代数的基础

例子：

AbGrp、模范畴 $M_{R}$ 都是Abel范畴；而有限生成阿贝尔群构成的满子范畴也是阿贝尔范畴, 有限阿贝尔群亦同；

如果R是左诺特环，则有全体有限生成左R-模构成阿贝尔范畴，这是阿贝尔范畴在交换代数中的主要面貌；

由上述例子可知，固定一个域或除环, 其上的向量空间成一阿贝尔范畴，有限维向量空间亦同；

设X为拓扑空间, 则所有X上的(实或复)向量丛通常不构成阿贝尔范畴，因为存在不是某一态射核的单态射；

固定一个阿贝尔范畴 $\mathcal{A}$ , 则取值于 $\mathcal{A}$ 的层与预层都构成阿贝尔范畴，这是阿贝尔范畴在代数几何中的主要面貌。

（8）像和余像：Abel范畴中的任意态射 f 都可以唯一地分解为 f=me，使得 m 为单态射而 e 为满态射，并且 $m=ker(coker(f)), e=coker(ker(f))$ ，称m是f的像即 $im(f)=ker(coker(f))$ ，e是f的余像即 $coim(f)=coker(ker(f))$

（9）正合序列：Abel范畴中的一列对象及其间的态射所组成的有限或无限序列，该序列中的每一个态射的像都恰好是其下一个态射的核。即态射系列

$... \overset{f_{n-1}}{\rightarrow} A_{n-1} \overset{f_{n}}{\rightarrow} A_{n} \overset{f_{n+1}}{\rightarrow} A_{n+1} \, ...$

如果满足 $im(f_{n})=ker(f_{n+1})$ ，则称该序列在 $A_{n}$ 处正合。如果该序列的每处都正合，则称为正合序列。群对象的指标集是整数集的双向无限的正合序列，称为长正合序列。

连通序列：如果对每个 n 有 $f_{n}f_{n-1}=0$ ，则该序列为连通序列。正合序列一定是连通序列，但反过来不一定成立

（10）短正合序列：具有下列形式的正合序列 $0 \to A \overset{f}{\rightarrow} B \overset{g}{\rightarrow} C \to 0$ ，称为短正合序列。有时B也称为C经由A的扩张；

性质：根据Abel范畴的性质，对任何一个短正合序列，f 一定为单射，且g 一定为满射，且f 的像会等于g 的核 im(f)=ker(g)，因此可诱导出一个同构 $C \cong B/im(f)$

（11）正合函子：设 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ 是Abel范畴， $T: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 是加法函子，如果T保持正合序列，即对每个 $\mathcal{C}$ 上的正合序列

$... \overset{f_{n-1}}{\rightarrow} A_{n-1} \overset{f_{n}}{\rightarrow} A_{n} \overset{f_{n+1}}{\rightarrow} A_{n+1} \, ...$

取T的像得到 $\mathcal{D}$ 上的序列

$... \overset{T(f_{n-1})}{\rightarrow} T(A_{n-1}) \overset{T(f_{n})}{\rightarrow} T(A_{n}) \overset{T(f_{n+1})}{\rightarrow} T(A_{n+1}) \, ...$

仍为正合序列，则称T为正合函子。

此外，若短正合序列 $0 \to A \overset{f}{\rightarrow} B \overset{g}{\rightarrow} C \to 0$ 取T的像并截去尾端零对象后的序列 $0 \to T(A) \overset{T(f)}{\rightarrow} T(B) \overset{T(g)}{\rightarrow} T(C)$ 仍是正合序列，则称T为左正合函子。类似地，若 $T(A) \overset{T(f)}{\rightarrow} T(B) \overset{T(g)}{\rightarrow} T(C) \to 0$ 仍是正合序列，则称T为右正合函子。正合性等价于左正合性＋右正合性

（12）链复形：一个链复形 $(A_{\bullet},d_{\bullet})$ 是Abel群或模范畴上的一个连通序列，即对象序列通过一系列同态相连，使得每两个连接的映射的复合为零 $d_{n}d_{n+1}=0$ 。写成如下形式

$... \to A_{n+1} \overset{d_{n+1}}{\rightarrow} A_{n} \overset{d_{n}}{\rightarrow} A_{n-1} \to ... \to A_{1} \overset{d_{1}}{\rightarrow} A_{0}\overset{d_{0}}{\rightarrow} 0$

链复形的同调群：定义为 $H_{n}(A_{\bullet})=Ker(d_{n})/Im(d_{n+1})$ 。当所有同调群为零时，此链复形为正合的。

链复形的应用通常定义并应用它们的同调群（对于上链复形是上同调群）；在更抽象的范围里，很多等价关系被应用到复形上（例如从链同伦的思想开始）。链复形的定义很容易推广到一般的交换范畴中。

（13）上链复形：与链复形对偶的概念。一个上链复形 $(A^{\bullet},d^{\bullet})$ 是Abel群或模范畴上的一个连通序列，即对象序列通过一系列同态相连，使得每两个连接的映射的复合为零 $d_{n+1}d_{n}=0$ 。写成如下形式

$0 \to A_{0} \overset{d_{0}}{\rightarrow} A_{1} \overset{d_{1}}{\rightarrow} A_{2} \to ... \to A_{n-1} \overset{d_{n-1}}{\rightarrow} A_{n} \overset{d_{n}}{\rightarrow} A_{n+1} \to ...$

上链复形的上同调群：定义为 $H_{n}(A^{\bullet})=Ker(d_{n})/Im(d_{n-1})$ 。当所有上同调群为零时，此上链复形为正合的

主要定理：

（1）加法范畴的对偶范畴仍然是加法范畴；两个加法范畴的积范畴也是加法范畴；

（2）Abel范畴的性质：

态射 f 是单态射当且仅当 ker(f)=0，当且仅当 f=ker(coker(f)) ；

态射 g 是单态射当且仅当 coker(g)=0，当且仅当 g=coker(ker(g)) ；

Abel范畴中的拉回正方形必定是推出正方形。

（3）分裂引理：在任意Abel范畴中，给定一个具有映射q 与r 的短正合序列 $0 \to A \overset{q}{\rightarrow} B \overset{r}{\rightarrow} C \to 0$ ，则下列陈述等价：

左分裂：q有回缩，即存在映射 $B\overset{t}{\rightarrow} A$ 使得 tq 是A的恒等映射 $1_{A}$ ；

右分裂：r有截面，即存在映射 $C\overset{u}{\rightarrow} B$ 使得 ru 是C的恒等映射 $1_{C}$ ；

直和：B同构于A和C的直和 $A \oplus C$ ，并且q是A的自然内射，r是到C的投影。

如果上述任一条件成立，则称短正合序列为分裂的

（4）正合序列的可分解性：任意正合序列可以分解为短正合序列。正合序列可以透过核Ker与上核Coker的构造分解为短正合序列，构造方式如下：考虑一正合序列

$... \overset{f_{n-1}}{\rightarrow} A_{n-1} \overset{f_{n}}{\rightarrow} A_{n} \overset{f_{n+1}}{\rightarrow} A_{n+1} \, ...$

设 $Z_{n}=Ker(f_{n+1})=Im(f_{n})=Coker(f_{n-1})$ ，其中 $2\leq n\leq 4$ ，这就给出了一个短正合序列

$0 \to Z_{n} \to A_{n} \to Z_{n+1} \to 0$

（5）蛇引理：对Abel范畴（例如Abel群或模的范畴）中的任意行正合的交换图表

即每一行都是正合序列，那么存在态射 $d:ker\,c \to coker\,a$ ，使得联系a, b, c的核与上核的序列

是正合序列。此外，若 f 是单射，则 $ker\,a \to ker\,b$ 亦然；若 g 是满射，则 $coker\,b \to coker\,c$ 亦然。

在同调代数中，蛇形引理是通过短正合序列构造长正合序列的关键工具，依此构造的同态通常称作连接同态。上述构造出来的长正合序列可以通过下图中的"蛇形"来说明：

（6）短五引理：对Abel范畴中的任意行正合的交换图表

如果 $\alpha, \gamma$ 都为单态，那么 $\beta$ 也为单态；如果 $\alpha, \gamma$ 都为满态，那么 $\beta$ 也为满态；如果 $\alpha, \gamma$ 都为同构，那么 $\beta$ 也为同构

证明思路：使用蛇引理

层范畴

（1）预层：这里定义拓扑空间上的预层。设X是一个拓扑空间，定义X的开集范畴为 $\Gamma(X)$ ，其对象是X的开集，态射为开集间的包含映射（若 $U \subseteq V$ 则有态射 $f(x)=x: U \to V$ ）。 $\mathcal{C}$ 是任意一个有零对象的范畴，则拓扑空间X上的 $\mathcal{C}$ 预层是一个反变函子 $F: \Gamma(X)^{op} \to \mathcal{C}$ 。也就是说，它把每个开子集U对应到 $\mathcal{C}$ 中的对象 F(U) ，把每个包含映射 $U \subseteq V$ 对应到 $\mathcal{C}$ 中的态射 $\rho_{UV}: F(V) \to F(U)$ ，这个态射称为限制映射；空集对应到零对象 $F(\varnothing)=0$ ； $\rho_{UU}$ 为单位限制映射；并且限制映射具有复合性，即对三个开集 $U\subseteq V\subseteq W$ ，有 $\rho_{UV} \circ \rho_{VW}=\rho_{UW}$ 。这里限制映射可以写成 $\rho_{UV}(s_{V})=s_{V}|_{U}$ ，即元素 $s_{V}|_{U} \in F(U)$ 是元素 $s_{V} \in F(V)$ 从V到U的限制。

层（sheaf）：若拓扑空间 X 的预层 F 满足以下粘合条件（粘合公理），对任意两个开集 U, V 以及任意两个元素 $s_{U} \in F(U), s_{V}=F(V)$ ，如果有 $\rho_{U\cap V,U}(s_{U})=\rho_{U\cap V,V}(s_{V})$ ，则存在唯一的 $s \in F(U\cup V)$ 使得 $\rho_{U,U\cup V}(s)=s_{U}, \, \rho_{V,U\cup V}(s)=s_{V}$ ，则称 F 为X上的 $\mathcal{C}$ 层。这里粘接条件可以理解为如果两个局部开集到它们重叠处的限制映射相等 $s_{U}|_{U\cap V}=s_{V}|_{U\cap V}$ ，则这两个元素 $s_{U}, \, s_{V}$ 在整体并集上可以自然地粘合成一个整体元素 $s|_{U}=s_{U}, \, s|_{V}=s_{V}$ 。实际上 $U\cup V$ 是 U 或 V 的开覆盖，因此对于开覆盖中相交的开集，若在交集上两边的限制值相等，则在整个开覆盖上产生了粘合的效果。整个层也可以视为不同的开集粘合(glue)的结果，而粘合的重叠部分要靠这种相容性来保障。

粘合公理的另一种表述：对开集U的任意开覆盖 $\left \{ U_{i} \,|\, i \in I \right \}$ ， $e: F(U) \to \prod_{i \in I}F(U_{i})$ 是平行映射 $p,q: \prod_{i}F(U_{i \in I}) \to \prod_{i,j \in I}F(U_{i} \cap U_{j})$ 的等化子；

粘合公理的另一种表述：对开集U的任意开覆盖 $\left \{ U_{i} \,|\, i \in I \right \}$ ，序列 $0 \to F(U) \to \prod_{i \in I}F(U_{i}) \to \prod_{i,j \in I}F(U_{i} \cap U_{j})$ 是正合的；

截面：对象 F(U) 称为层F在开集U上的截面（这是因为和纤维丛的截面相似），若 $\mathcal{C}$ 是一个具体范畴，则 F(U) 的每个元素称为一个截面，F(U) 也常记为 $\Gamma(U,F)$ 。

层的概念来自于拓扑空间上从局部性质过渡到整体性质的研究。它是对拓扑空间中开集之间相互关系的范畴化描述，把开集的包含关系抽象为一个到指定范畴 $\mathcal{C}$ 的函子，并且包含了从局部过渡到整体的粘合信息，层蕴含了整体信息。范畴 $\mathcal{C}$ 通常取具有良好代数对象的具体范畴，例如交换群范畴AbGrp、含幺交换环范畴CRng、一个固定环上的模范畴 $M_{R}$ 、单点集合范畴 $Set_{*}$ 、或另一个拓扑空间的开集范畴，等等。

例子：

连续函数层：对拓扑空间X及其每个开集V，定义函子 $C^{0}: \Gamma(X)^{op} \to CRng$ ， $C^{0}(V)$ 为V上的全体连续实值函数集 $C^{0}(V)=\left \{ f: V \to R \right \}$ ，它构成一个交换环结构，限制映射为通常的函数限制 $\rho_{UV}=C^{0}(U\subseteq V): C^{0}(V) \to C^{0}(U)$ ，即 $\rho_{UV}(f) = f|_{U}$ ，这是一个环同态，根据连续函数的粘合引理可知一族连续函满足粘合条件，则 $C^{0}$ 是X上的一个层，它是环层。连续函数层 $C^{0}$ 在开集V上的截面 $C^{0}(V)$ ，其元素就是连续函数。因此层也可以看作是基空间X上的函数概念的推广，而 $C^{0}(V)$ 在U上的限制 $C^{0}(U)$ 也构成一个环；

有界连续函数预层：F(V) 为有界连续函数，则F是一个预层，但不是一个层，因为不满足粘合公理；

可微函数层：类似地可定义微分流形X上的一阶可微函数环层，记作 $\mathcal{O}_{X}$ 。可微函数环 $C^{1}(X)$ 限制在 V 上也构成一个函数环 $C^{1}(V)$ ；

光滑函数层：类似地可定义微分流形X上的无穷次可微函数环层，构成光滑函数层 $C_{X}^{\infty}$ ，光滑函数环 $C^{\infty}(X)$ 它在V上截面为 $C^{\infty}(V)$ 。类似地在实流形上可以定义k阶微分形式层 $\mathcal{A}^{k}$ ；

全纯函数层：对复流形X（局部同胚于 $C^{n}$ 中的开子集，转移函数为全纯函数）或者黎曼面，全纯函数层 $\mathcal{O}_{X}$ 在U的截面为 $\mathcal{O}(U)$ 。类似地在复流形上可以定义 (p,q) 阶微分形式层 $\mathcal{A}^{p,q}$ ；

常数层：设U是拓扑空间X上的开集，反变Hom函子 $\Gamma_{X}(-,U): \Gamma(X)^{op} \to Set$ 定义为 $V\subseteq U$ 时把V映为单点集即 $\Gamma_{X}(-,U)(V)=\left \{ * \right \}$ ，否则映为空集 $\varnothing$ ，则这个函子是X上的一个层。取U=X，则反变Hom函子 $\Gamma_{X}(-,X)$ 把每个开集U都映为单点集 {*}，这个函子称为X上的常数层。比如Set为整数集Z， $Z(U)$ 为在U上取值固定整数的函数，这就是一个常数层，类似地可定义常数层 R, C；

纤维丛的截面层：任何纤维丛产生一个集合的层，只要对纤维丛取截面，截面的集合就组成一个层。

（2）茎（stalk）：设F是拓扑空间X上的 $\mathcal{C}$ 预层，考虑包含点x的开邻域族 $\left \{ U_{k} \right \}$ ，对预层对象中的任意两个元素 $f\in F(U_{1}), \, g \in F(U_{2})$ ，如果它们在重叠处的限制是相等的 $f|_{U_{1}\cap U_{2}}=g|_{U_{1}\cap U_{2}}$ ，则定义等价关系 $f \sim g$ ，这个等价关系会把所有对象 $\left \{ F(U_{k}) \right \}$ 中的元素划分成一个个的等价类 $[f]$ ，这些等价类构成一个商集，它是 $\mathcal{C}$ 中的一个对象（对于像交换群或交换环这样的范畴来说），记作 $F_{x}$ ，称为预层F在点x处的茎。茎也可以用余极限来定义，以固定点 $x \in X$ 为内点的领域，构成开集范畴 $\Gamma(X)$ 中的一组对象 $\left \{ U_{k} \right \}$ ，在预层 $F: \Gamma(X)^{op} \to \mathcal{C}$ 的作用下，这组对象对应到 $\left \{ F(U_{k}) \right \}$ ，茎就是它们的余极限 $F_{x}=\lim_{\to}\left \{ F(U_{k}) \right \}$ 。

芽（germ）：元素 $f \in F(U)$ 在茎 $F_{x}$ 中的值，即一个等价类 $[f]$ ，称为 f 在点x处的的芽，记作 $f_{x}$ 。通俗地说，芽 $f_{x}=[f]$ 就是那些在某个小邻域内与 f 相等的元素构成的等价类，定义芽使得讨论的元素减少了，因为属于同个芽的元素都是等价的，讨论其中一个代表就行。

茎和芽的概念体现了预层的局部相等的关系，在微分几何中就是函数芽。

例子：

函数芽：拓扑空间取微分流形M（或者复流形、黎曼面），范畴 $\mathcal{C}$ 中的对象是M的一个开集U上的光滑函数集（对复流形则是解析函数集） $C^{\infty}(U)=\left \{ f: U \to R \right \}$ 。对点p处的开邻域族上的光滑函数集 $C_{p}^{\infty}$ ，设 $f,g \in C_{p}^{\infty}$ ，若存在p的开邻域 $W=U\cap V$ 使得 $f|_{W}=g|_{W}$ ，则定义等价关系 $f \sim g$ ，函数 f 的等价类 $[f]$ 就称为 f 在p处的芽。可见函数f的芽就是那些在某个小邻域内与f相等的函数。当空间是黎曼曲面时，芽可以视为幂级数，因而芽的集合可以视为解析函数的解析延拓；

可微函数芽环：微分流形M在原点处的芽的全体，记作 $C_{0}^{\infty}$ ，它就是一个函数茎。当以自然的方式在其上定义函数芽的相加、相乘以及函数芽与实数的相乘。对于这些运算， $C_{0}^{\infty}$ 为具有单位元的交换环，且是R上的代数，称为可微函数芽环或称可微函数芽代数。那些在原点取值为0的芽之全体构成 $C_{0}^{\infty}$ 的惟一极大理想，记为 $m(C_{0}^{\infty})$ 。这个极大理想在奇点理论研究中起着重要的作用。

（3）赋环空间：指具有交换环层的拓扑空间。给定拓扑空间X， $\mathcal{O}_{X}$ 表示表示拓扑空间X上的交换环层，即X上的一个在交换环范畴中取值的层。 $(X, \mathcal{O}_{X})$ 称为拓扑空间X的赋环空间， $\mathcal{O}_{X}$ 也称为赋环空间上的结构层。对拓扑空间上的点 $p \in X$ ，层的茎记作 $\mathcal{O}_{X,p}$ ；

局部赋环空间：若 $\mathcal{O}_{X}$ 在每一点的茎都是局部环（即只有一个极大理想的交换环），则称为局部赋环空间。

例子：

微分流形M上的可微函数构成可微函数环层 $\mathcal{O}_{X}$ ，从而微分流形是赋环空间；

概形是特殊的局部赋环空间，在代数几何中很重要。

（4）层范畴：拓扑空间X上的所有层作为对象，层间的自然变换作为态射，构成一个范畴，称为层范畴，记作 Sh(X) 。它是预层范畴 $[\Gamma(X)^{op}, Set]$ 的满子范畴。常数层 $\Gamma_{X}(-,X)$ 是层范畴中的终对象，记作 1

（5）子层：设 F, G 是空间X上的层，如果对任意 $U \in ob(\Gamma(X))$ 有 $G(U) \subseteq F(U)$ ，对任意 $V\subseteq U$ 有 $G(V \subseteq U)=F(V\subseteq U) |_{G(U)}: G(U) \to G(V)$ ，即限制映射 $G(V \subseteq U): G(U) \to G(V)$ 与 $F(V \subseteq U): F(U) \to F(V)$ 在G(U)上的限制是相等的，则称G是F的一个子层

（6）局部同胚映射：对两个拓扑空间之间的映射 $f: Y \to X$ ，如果对任意 $y \in Y$ ，存在y的一个开邻域 $U_{y}$ ，使得 $f(U_{y})$ 是X中的开集，并且 f 在 $U_{y}$ 上的限制 $f|_{U_{y}}: U_{y} \to f(U_{y})$ 是一个同胚，则称 f 是一个局部同胚映射。

性质：任意一个局部同胚映射都连续的开映射；局部同胚映射的复合仍然是局部同胚映射

局部同胚范畴：以所有拓扑空间为对象，局部同胚映射为态射形成的范畴，记作LH。它是范畴Top的一个子范畴

（7）子对象分类子：设 $\mathcal{C}$ 是一个有限完备范畴，1是 $\mathcal{C}$ 中的终对象，若 $\mathcal{C}$ 中存在对象 $\Omega$ 和态射 $t: 1 \to \Omega$ ，满足对 $\mathcal{C}$ 中的任意一个单态射 $m: A \to B$ ，都存在唯一的态射 $\phi : B \to \Omega$ ，使得下图是一个拉回正方形：

则称 $\Omega$ 是 $\mathcal{C}$ 中的一个子对象分类子

主要定理：

（1）层范畴是良幂的。设 F, G 是空间X上的层，则G是F在层范畴Sh(X)中的子对象，当且仅当G是F的子层。由此可见层范畴Sh(X)是良幂范畴，即任意层F的子对象族 Sub(F) 是一个偏序集

（2）层范畴与拓扑的关系：设X是拓扑空间，记常数层 $1=\Gamma_{X}(-,X)$ 在层范畴Sh(X)中的子对象偏序集为 $Sub_{Sh(X)}(1)$ ，则有 $\Gamma(X) \cong Sub_{Sh(X)}(1)$ 。该结果表明空间X上的拓扑可以反过来由X上的层范畴得到，因此层范畴完全确定了空间X的拓扑

（3）预层范畴与拓扑空间切片范畴的关系：设X是拓扑空间，Top/X 是X在Top范畴中的切片范畴，则 $\Theta: Top/X \to [\Gamma(X)^{op}, Set]$ 是一个函子， $\Lambda: [\Gamma(X)^{op}, Set] \to Top/X$ 也是一个函子，并且它们是一对伴随函子 $\Lambda \dashv \Theta$

（4）层范畴与局部同胚映射的关系：Sh(X) 与局部同胚切片范畴是范畴等价的，即 $Sh(X) \simeq LH/X$ 。因为函子 $\Theta , \, \Lambda$ 在Sh(X)与LH/X上的限制是一对等价函子；

由于 Sh(X) 与 LH/X 的等价性，很多著作中也直接定义拓扑空间X上的一个层就是X上一个局部同胚映射 $Y \to X$ ，即切片范畴 LH/X 中的对象，而一个层态射就是 LH/X 中的一个态射

（5）包含函子 $I: Sh(X) \to [\Gamma(X)^{op}, Set]$ 存在左伴随，即 Sh(X) 是 $[\Gamma(X)^{op}, Set]$ 的反射子范畴。同时包含函子 $J: LH/X \to Top/X$ 存在右伴随，即 LH/X 是 Top/X 的余反射子范畴

（6）层范畴的性质：Sh(X) 是良幂范畴、是完备范畴、是余完备范畴、是笛卡尔闭范畴

（7）层范畴 Sh(X) 中必定存在子对象分类子。对X的任意开集U，定义对象为 $\Omega(U)=\left \{ W \in ob(\Gamma(X)) \,|\, W \subseteq U \right \}$ ，限制映射为 $\Omega(V\subseteq U): \Omega(U) \to \Omega(V)$ ，则 $\Omega$ 是X上的一个层，并且是 Sh(X) 中的子对象分类子

参考书籍：

（1）Stack Projects: https://stacks.math.columbia.edu/browse

（2）Category Theory A Gentle Introduction : University of Cambridge, https://www.logicmatters.net/categories/

（3）范畴论：贺伟

本文链接: http://www.dtmao.cc/news_show_650088.shtml

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