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测度论与概率论基础学习笔记2——1.2集合系

2021/2/13 16:16:57 文章标签: 测试文章如有侵权请发送至邮箱809451989@qq.com投诉后文章立即删除

**集合组成的集合就是集合系。**本节的任务在于讨论能够在哪种集合上建立测度,也就是如何找到可测集。 定义1.π\piπ系 如果空间X上非空集合系P\mathscr PP对交运算封闭,则其为π\piπ系。 定义2.半环 满足下列条件的π\piπ系L\mathscr LL称为半环&a…

**集合组成的集合就是集合系。**本节的任务在于讨论能够在哪种集合上建立测度,也就是如何找到可测集。

定义1. π \pi π
如果空间X上非空集合系 P \mathscr P P对交运算封闭,则其为 π \pi π系。

定义2.半环
满足下列条件的 π \pi π L \mathscr L L称为半环:
对任意的 A , B ∈ L 且 A ⊃ B A,B \in \mathscr L 且 A\supset B A,BLAB,若存在有限个两两不交的 { C k ∈ L , k = 1 , 2 , … , n } \{ C_k \in \mathscr L , k = 1,2,\dots ,n\} {CkL,k=1,2,,n}使得
A \ B = ∪ k = 1 n C k A \backslash B = \cup_{k=1}^{n} C_k A\B=k=1nCk

多留心本节与高等代数里的概念的类比。在代数中,半环是去掉+运算逆元特性的环。

这个定义的意义是, A 和 B A和B AB的真差能用几个互不相交的集合填满。

定义3.环
若非空集合系 R \mathscr R R对并和差的运算是封闭的,则称其为环。

在代数中,环就是定义了加法和乘法的群,其满足加法与乘法的某些特性。

定义4.域
满足下列条件的 π \pi π A \mathscr A A称为域:
X ∈ A ; A ∈ A ⇒ A c ∈ A X\in \mathscr A;A \in \mathscr A \Rightarrow A ^ c \in \mathscr A XA;AAAcA

在代数中,设F是一个有单位元 e 1 ( ≠ 0 ) e_1(≠0) e1(=0)的交换环(即对于乘法运算可交换)。如果F中每个非零元都可逆,称F是一个域。

以上几个概念的关系:
半环必是 π \pi π系(由定义),环必是半环,域必是环。


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